ï'roiilèmi; I. — Un nombre m de rayons vecteurs ^éo

désiques sont menés d'un point A situé sur une courbe donnée

-T- =; P, et forment, en ce point avec la tangente à cette

de ■' "^ o

courbe, des angles (3,, jS^, . . ., p« liés entre eux par la relation

Il étant une constante, m — t de ces rayons enveloppent m — i courbes données, enveloppe du dernier rayon vecteur géodésique lorsque le point A décrit ta courbe directrice.

Notation. — Soieni di,, dui,- ■ -, rfa-™i les arcs des courbes enveloppées, d, t,,.-., t«, les rayons vecteurs géodésiques coraplés à partir des points de contact jusqu'au point A; p,, p,,. . ., />„ les rajons vecteurs géodésiques comptés à partir du point A jusqu'à des développantes déterminées des courbes da,, diT„. . ., diT«; ds,,, dt-,,. .., ds„ les angles de contingence tangenlielle de ces dernières courbes : on conserve pour tout le reste la notation déjà employée.

Équations différentielles. — On a les équations suivantes :

j dk = \\[t,i)dz, d^ = ll'it.s]ds, ^ =

*^' i do 1) .

dp = dt + du ,

les lettres dénuées d'accent se rapportant à une courhe quelconque.

287, I.IVUK ILl. — ItES COOItDONNÈES GÊOUÉSIQUKS.

Points de contact. — Si l'on différenlie l'équalion (1) pai' rapport aux angles [3, el qu'on élimine les d^ au moyen des équations renfermées dans la troisième du groupe précédent, on- obtient

cette équation fait connaître, en fonction de m«, le rayon de courbure tangeniielle de la développante passant par le point A de l'enveloppe cherchée da,,. De ce rayon de courbure langentielle, on déduit le m''"" rayon géodésique 4- Bn effet, si l'on porte la valeur trouvée pour R,„ dans l'équation

on obtient la valeur de tn, en fonction de Mk et de e^; et, en portant celte valeur dans la relation

d<a„ = KAtm,i^)dt„, on obtient e,„ et /,„ en fonction de w^,.

189. Rayon de courbure tangcntielle. — Diiïérenlions la troisième des équations ( 2), el posons

^-.R' !^-p- 'IR-a'-

r^,i-"' de^^' d^~"' on trouve

en multipliant les m équations contenues dans ce type rcspec-

f/F </F dF

iivement par ^^! TiT'' "' Jr"' ' ^'^ ■'joulaiit, on trouve

or, si l'on différcniic l'équation [3), ou son égale, \flFi

l'on a

Z</3IK""Zl.lt'/3\Z"'/p,/.r

yGoosle

CHAPlTfiR IV. — DES LIGNES CONJUGUÉES, ETC. 28J

on peut écrire symboliquement le second membre sous la forme ( / t: ;/]; ) 1*\ pourvu que, lorsqu'on aura effectué les opérations, on regarde les exposants comme des imiices de (lifféreniialion. D'après cela, l'élimination ^'^y-jp-rri entre les deux dernières équations donne ,-. V" d¥ /R' cos[3\ P'V'<"'F /V! -^Vu

Celle équation fait connaître -r-^i c'est-à-dire la dérivée du

rayon de courbure d'une développante de l'enveloppe da^, celle développante passant par le point A,

Rayon de courbure de l'enveloppe. — Différentions, par rapport à (ù„ l'éqiiaiion (4) mise sous la forme R«, = Fm(i„, e„),

„ tiR^ </F^ dt„ dV.,

' ' (/w. "%,dz^ d',>„ di,,'

or, on a les deux équations

(]% = COl^„ dh„ — da^, d(a„ = B.'^il^, E„)rfs„;

si l'on divise la première par la seconde, en se rappelant que II» est le rajon de courbure tangentielle de l'enveloppe, on obtient , . dl^ cotS„ n„

et, conséquerament, en éJii.....^..., et (7), on trouve

,0, di\„__dK / cot(3„, n„\ f/r,„

' ' d'j:„.~H'„,d£„. '^ [ JC 1-'™/ '^'■" '

Celte dernière équation donne le rayon de courbure langen-

liclle n,„ de l'enveloppe rfo», en fonction do -t— ^'- fr, comme

2^4 i.iviii; III. — uiis cuoHUONMÉKS Gf:oi>ÉsiyuES.

nous l'avons déjà remarqué, cette dérivée est connue par

suite de l'équation (5).

g II. — Des rollktïks.

190. Des roulettes sp/iériques, — Les formules qui précèdent se prêtent sans difficulté à de nombreuses et à d'importantes applications. Nous allons en premier lieu déduire de ces formules la théorie des roulettes sphériques. Les propriétés des rouleiies planes s'en déduiraient avec non moins de facilité. D'ailleurs, elles résultent par des changements évidents des propriétés des roulettes sphériques,

Pboblëmë il.— Soient [jîg, i S) deux surfaces sphériques égales et concentriques, l'une immobile, l'autre mobile aulourde son centre, par cette condition qu'une courbe C située sur sa surface, et invariablement liée avec elle, roule sans glissement sur un courbe C située sur la surface sphérique immobile ,il s'agit de trouver sur cette surface l'enveloppe v d'une courbe y' située sur (a surface mobile.

Notation. ~ Soient A, A' les rayons de courbure iangentielJes des courbes v, v' en leur point de contact E, on rapporte la développée de la courbe v à ses coordonnées tangentielles t, |3 par rapport à la courbe C comme directrice, et la développée de v' à ses coordonnées langentielles /', |3' par rapport à la courbe C comme directrice, lorsque les deux courbes C et C sont tangentes en un point A; da, de, da', d^' sont l'arc élémentaire et l'angle de contingence langentielle de ces deux développées. Pour tout le reste, les notations admises sont conservées.

Équations différentielles. — Les courbes C et C étant tangentes en A, dans une quelconque de leur position, on a les relations suivantes :

' R' <ts' '

auxquelles il faut joindre les conditions

i'A] ds = ds\ 6 + ,3' = i8o".

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