CHAPITRE iV. — DES LIGNIJS CONJUGUÉES, ETC. a

Tangente à l'enveloppe. — Si l'on ajouie membre à membre les deuxièmes équations des groupes (i) et {'>.) et qu'on ait égard aux équations (3), on trouve

Soient mainienanl t, v' les arcs de grand cercle menés du point de contact E des courbes v et v' jusqu'à leurs centres respectifs de courbure géodésique{*), l'on aura successivement

portant ces valeurs dans l'équation précédente et intégrant,

on trouve

(4) 7 + T =:arc I tang^ — j H- arc I tang^ — I == t + i-.

Or T et t' étant sur un même grand cercle, il en est de même de t et de t'. Donc, le point de contact A des deux courbes C

et C et le point de contact E des courbes v et v' se trouvent sur le même arc de grand cercle que les centres de courbure géodésique des courbes v et v'. Cette conséquence, qui s'établit aussi par la Géométrie, donne le point de contact E de la

e combure géndésiqrie d'une courbe le point d'inler-

386 LIVRE m. — DES COORDONNÉES GÉOLiÉSIQUES.

courbe v' ei de son enveloppe v, et par conséquent, la normale à celle courbe. On déduit les propositions suivantes :

Théorème I. — Le point de contact E de la courbe y' et de son enveloppe v est le point où un grand cercle mené du point de contact A des deux courbes C et C, perpendiculairement à la courbe v', rencontre cette ligne.

Corollaire I. — Le. mouvement élémentaire de la sphère mobile a lieu à chaque instant autour du rayon de la sphère passant par le point A de contact de la courbe roulante C sur la directrice G. "En effet, la courbe v' quelconque coupant orihogonalemeni au point E l'arc de grand cercle AE, ce point de contact décrit pendant un temps infiniment petit, un arc élémeniaîre de petit cercle dont le point A de contact de la courbe roulante G' avec la courbe C est le pôle. Cet axe est dit axe instantané de rotation- Corollaire II. — Si l'on suppose une seconde courbe }/\ située sur la sphère mobile, elle enveloppera une courbe v„ de sorte que le même mouvement de la sphère mobile serait aussi produit si elle était conduite par deux lignes v', v\ invariablement liées avec elle, et restant constamment tangentes à leurs enveloppées préalablemeni tracées sur la surface immobile. Ces deux mouvements sont équivalenis, bien que correspondants a des conditions distinctes.

Il sera toujours possible quand le second mouvement sera défini par les courbes v', y\ restant constamment tangentes à deux autres courbes données v, v, de trouver le mouvement de roulemeiil équivalent. 11 suffira, dans les positions successives des courbes v',v', par rapport aux courbes v, vi, de mener aux points de contact E, E, des arcs de grand cercle perpendiculaires aux tangentes communes en ces points; on marquera sur les deux sphères les points d'intersection A, B, Ai, B,, . . . , et, la série des points A, A,, As, . . . , A„ donnera la courbe roulante, tandis que la série des points B, 1!,, B,,..., B„ donnera la courbe directrice, et il est facile de voir que ce mouvement sera un mouvement de roulement produit par la courbe A A, Aj. . , A„ roulant sur la courbe BB, B,. . . B„.

En eflèl, lorsque A et B coïncident, ils ne peuvent se séparer que par suite du mouvemeni élémentaire de rotation autour