BU' B
On trouverait la même équation en faisant 1) iniini dans la relation (i4) du n" 180. L'équation (5) donne une construction simple du rayon de courbure tangentielle de la développée oblique.
Application : Développée oblique d'un petit cercle -j- ^ m
(n" 153). — On a, d'après la deuxième des équations (i),
«tanst = nisinp;
on en conclut que le rayon géodésiqueuT est conslajU, L'équation (3 ) donne
-,— = rticosScosr.
as
Cette équation montre que le rayon de cpufbure Jangentielle de la développée oblique esl consianl; donc celle développée est un cercle. Ces résultats se conlirment directement par la Géoméirie.
187. PnOBi.ioiii V, [Géiiéralisution.] — Etant donnée une courbe ~.~ = H sur une surface, on Imee des rayons vecteun
2^8 LIVRE m, — UES COORDONNÉES 6É0DÉSIQUES.
géodésiques l formant avec cette courbe des angles b dont la ■ans vet-teurs t snlisfonl à la toi
/r=4i(e): déterminer les éléments de la courbe décrite par les extrémités des rayons vecteurs t.
Nous conservons la nouilion admisejusqua présent. I-c lieu
liécrit sera la courbe -— ^ P.
de Soit rfA'" l'arc d'une ligne orthog&nale compris entre deux rayons vecteurs quel<;onc|ues infiniment voisins, d/h l'arc qui se rapporte à un point de la courbe da et dit celui qui se rapporte à un point de ds. Soit dp<'^ l'arc géodésîque compris entre deux arcs orthogonaux infiniment voisins; dp,, dp ics arcs géodésiques qui se rapportent aux courbes du et ds.
Tangente. — On a les équations
(I) dlt = f){(, s)ds, d/i,=^f){o,i)di,
! . , dlh , dp,
I sintr- — -— , c<ysb = -f-i
iih
-,lp-,ll,.-.
C|[\l'lTHE 111, — SÏSTiiMlî INVIÎHSE. 27ÇJ
l'urigiiie des lignes gcodésiques p esl une ligne orthogoniilc déleriiiinée.
Différentielle de l'arc ds. — On déduit des éimations précédentes
ilcostris, ds'-- ( l)=.
ds'
Angles de contingence. — Si l'on applique le ihéorème de Gauss au quadrilaièie dont les côtés opposés sont d<j, dli, en remarquant que diù se rapporte à l'arc dh et rfo. à l'arc dh,, on obtient l'équalion
de plus le triangle dont les côtés sont dh, ds, dp, donne
(5) du,.= de— d^.
Hayon de courbure tnngentielle. — La ligne orthogonale dh a pour rayon de courbure langentielle K qui a pour expression
(ti)
"-/Fi'i.r
on a aussi
sin|3 r dS W P lis '
si l'on diCférentie 1
'équation
co.p = ^,
on obtient
rf(3 /dt^Uco^
et, en substituant dans l'équation (7), on trouve
a8o livh]! iti. — uns i;oori>onnèiîs uéodésiqies.
Ces relations donnent tous les élémenis de la courbu ds v.n
l'onction de la variable indépendante e.
Conséquences. -— Il est Tacile de déduire de ces l'ormules celles qui se rapportent aux différents problèmes que nous avons traités:
1° Celles dans lesquelles les rayons vecteurs gcodésiques t sont tangents à la courbe drj : il faui supposer l'angle b nul ;
3" Celles qui se rapportent à l'enveloppe des rayons vecteurs géodésiques coupant une courbe f/<7 sous un angle quelconque b : il faut, dans ce cas, supposer l'angle p nul ;
3° Celles qui se rapportent à des rayons géodésiques rectilignes, et dont nous avons déjà trouvé des exemples dans l'élude des lignes Iraccossur les surfaces réglées (n" lOÎ).
■ DES LIGNES rONJLI
