CHAPITRE IV. —, DES LICNGS CONJUGUÉES, ETC

des points infiniment voisins A, et B, qui sont venus en coïncidence. Donc le mouvement esi de roulement.

Théorème 1T. — Quel que soit le mouvenienl d'une sphère mobile, ce mouvement .peut être produit par le roulement d'une courbe située sur la sphère mobile, invariablement liée avec elle, sur une ligne fixe située sur la sphère immobile.

En el'fei, le mouvement le plus général de la splière mobile autour du centre est celui qui est produit par deux courbes v', u'i situées sur cette sphère, et restant l'une et l'autre constamment tangentes à deux courbes v et v, situées sur la sphère immobile, puisque, par suite d'un mouvement quelconque de la sphère, deux de ces points déterminés décrivent deux trajectoires y, V, qui sont les enveloppes de ces points, auxquels les courbes 1/ et v\ sont maintenant réduites. Or, d'après ce que nous venons d'établir, le premier mouvement peut êlre produit par un roulement d'une courbe liée avec la sphère sur une courbe tracée sur la sphère immobile. Donc, etc.

191. Rayon de courbure tangentielle de l'enveloppe. — Heveaons à la question de la roulette sphérique. Si nous ajoutons membre à membre les dernières équations des groupes (1) et (2}, nous obtenons

Cette équation prise simultanément avec l'équation (4). fait connaître le rajondecourburelangentielle^' de l'enveloppe u', lequel résulte de l'élimination rie r' entre ces deux équations.

On déduit de ces équations les propositions suivanies, qui donnent ta construction de ce rayon de courbure.

Théorème I- — 5*, du centre de la sphère comme centre de perspective, on fait la projection conique de lajigure sphérique sur le plan tangent au point de contact A des deux courbes C et C; le conjugué harmonique D du point A par rapport à la projection du centre de courbure géodésique de la courbe C, et au symétrique relativement au même point A de la projection du centre de courbure géodésique de la courbe C, et le conjugué harmonique d du point k par rapport aux points analogues nux précédents des deux courbes v et y', sont

388 L[VRI! m. — I)liS COORDONNÉES GÉODÉSIQIIES.

xiliiés sur une eirconf^.rence de cerclp. langent aux dt:itx courbes C et C en. leur point de contact.

Ce cercle tangent au point A est indépendant de la posilion de la courbe v, et de la nature de cette courbe. On déduit :

Théorème II. — Si l'on considère les différentes enveloppes correspondantes à différentes courbes v', v\, v\,. . . situées sur une sphère mobile, et que du centre de cette sphère comme point de perspective, on prenne la projection conique de la ^figure sphérique sur le plan tangent au point de contact A des deux courbes C et C, les conjugués harmoniques du point A par rapport aux projections des centres de courbure gêodésique des courbes enveloppées v, v,, v^,. . . , et aux symétriques relativement au point A des projections des centres de courbure géodésique des courbes enveloppées v' , v\, v',,... sont distribués sur un cercle de diamètre constant, et langent en ce point aux deux courbes C et C,

192. Discussion. — Traçons dans le plan tangent au point de contact A des deux courbes G et C, langenlieliement à ces courbes du même côté que la courbe C, deux cercles ; le premier ayant pour diamètre AD, et ie second ayant pour diamètre -AD; traçons aussi les deux cercles symétriques parrapport à la langente au point A, la projection conique du centre de courbure géodésique d'une courbe v' située sur la sphère mobile, peut affecter les positions suivantes :

1° S'il est intérieur au cercle symétrique du cercle ( — U

et s'éloigne du point A, la projection du centre de courbure géodésique de l'enveloppe v est située dans la même région par rapport a la tangente commune aux courbes C, C au point A, et sa distance du point A varie de zéro à l'infini. Lorsque la projection du centre de courbure géodésique de v' est à une distance plus petite ou plus grande que la demi-corde

du cercle I — K issue de ce point, la projection du centre

de courbure géodésique de l'enveloppe v est intérieure ou

, /AD\ exloncure an cercle — ;

CIIAPFTIITÎ IV. «ES I.IIJNEfi f ONJUGlJtiJS, ETC. 98y

a" Si la projection du centre de courbure géodésique de la courbe v' est située sur la circonférence de cercie symétrique

du cercle ( — ) > la projection du centre de courbure géodésique de l'enveloppe v est située à l'infini, ce qui revient à dire que le centre de courbure géodésique de cette enveloppe est sur le grand cercle dont le point A est le pôle.

3° Si la projection do centre de courbure géodésique de la courbe v' est située entre les deux cercles symétriques du cercle ( — ) et du cercle (AD), la projection du centre de courbure géodésique de l'enveloppe v est située dans la seconde région du plan tangent par rapport à la tangente commune aux courbes C, C, partant de l'infini et se rapprochant du cercle (AD).

4° Si la projection du centre de courbure géodésique de la courbe / est sur le cercle symétrique du cercle (AD), la projection du centre de courbure géodésique de l'enveloppe v est située sur le cercle (ADj.

5° Si la projection du centre de courbure géodésique de la courbe v' est extérieure au cercle symétrique du cercle (AD), la projection du centre de courbure géodésique de t'enveloppe V est intérieure au cercle (AD).

6° Si la première projection est à l'infini, la seconde est située sur le cercle ( — ■- \ •

7" Si la première projection, parlant de l'infini négatif, s'approche du point A, la seconde projection, partant de la

8" Si la première projection est située en un point de la tangente commune aux courbes C, C au point A, la seconde projection est symétrique de la première par rapport au point A.

Bemarque. — Si du centre de ia sphère on prend la perspective sphérique d'un cercle situé dans un plan langent et passant par le point de contact A, on trouve l'ellipse sphérique, telle que deux arcs de grand cercle menés par un de ses points aux deux extrémités de l'axe se coupent orthogona-

aC)0 I.IÏRl! Tir. — 1>KS COOHBÛKKÉKS GÉODÉSIQUES.

iiïment, l'axe majeur Ptani perpendiculaire à la tangenunu cerRtc au point de contact A. Donc les quatre ellipses

qui sont la perspective spliérique des cercles (AD), ( — -U

et de leurs symétriques, jouissent de la propriété énoncée.. Elles peuvent dont servira discuter les positions vraies des centres de courbure géodésîques des enveloppes v el v'; il en résulte aussi l'élégant théorème dû à M. Paul Serret.

193. PuoitLÈMi! Ui.^Lesmêines conriilions élani posées que dans le problème II, le mouvement de la sphère mobile est réglé par cette condition que deux courbes v', v\ situées sur sa suiface invariablement, i-eslent constamment tangentes à deux courbes v, Vi situées sur la surface immobile; courbe enveloppe d'une courbe i/^ située sur la surface mobile.

Normale; rayon de courbure. — Si des points de contact E, E, des deux courbes v', v', avec leurs enveloppes v, v,, ou mène des arcs de grand cercle perpendiculaires au:; tangentes communes en ces points, leur intersection détermine le point A; or, les projections des centres de courbure géodésique des courbes v', v sont situées sur la projection de l'arc de grand cercle EA; de même les projections des centres de courbure géodésique dés courbes i/\, v, sont situées sur la projection de l'arc de grand cercle E'A. Or, si l'on prend les conjugués harmoniques d, d, du point A, le premier par rapport à la projection du centre de courbure géodésique de v et au symétrique de la projection du centre de courbure géodésique de v', le second par rapport aux points analogues relatifs aux courbes v,, v',, les trois points d, d,, A déterminent un cercle situé dans le plan tangent au point A. Si, maintenant, on appelle di l'inierseclion de ce cercle avec la projection du grand cercle mené du point A, perpendiculairement à la courbe Vj. et qu'on prenne le symétrique par rapport au point A de la projection du centre de courbure géodésique de la courbe v'„ le quatrième harmonique de ce point et des points A et d, sera la projection du centre de courbure géodésique de la courbe v,, enveloppe de la courbe y\.

Cette construction donne donc la tangente et le myon de coiu-burc géodésique de l'inivciopiio v-.

RUAPITLin IV. — DES LIGNES CONJUGUÉES, ETC. 391

Remarque. — On résoudra sans difficulté l'une des questions dans lesquelles les courbes de la surface mobile, ou de la surface fixe seraient remplacées par des points ou pav des cercles, ou des arcs de grand cercle. Il est, en effet, évident que les équations (4) et (5) feront connaître l'un des quatre éléments qui entre dans chacune d'elles, lorsque trois de ces éléments seront connus. Il en sera de même des questions inverses.

Théorèmes résultants. — Des questions qui viennent d'être résolues, on déduit sans difficulté les propositions suivantes :

1° Deux développantes d'une même courbe situées sur la sphère mobile envelopperont deux développantes d'une même ligne situées sur la sphère fixe;

2° Deux cercles ayant même pôle envelopperont deux développantes d'une même courbe;

3" Un cercle et son pôle envelopperont deux développantes d'une même ligne.

194. De l'épicycloïde sphérîque. — C'est la courbe engendrée par un point d'un cercle assujetti à rester sur une sphère, et roulant sur un cercle situé sur la même sphère. Soient 2 è', 2Ô les angles sous lesquels on voit du centre de la sphère les diamètres du cercle roulant et du cercle fixe. L'équation du cercle roulant rapporté aux coordonnées tangentietles t*, |3', est

lang ~ — - Jiinp'iango',

de laquelle on déduit

Équation de la développée géodésique de l'épieycloide. ~ Si l'on porte cette valeur dans l'équation (5), dans laquelle les valeurs de P et de P' sont

on trouve pour équation de la développée de l'épipvcloïde rapportée aux coordonnées langentielles t et [3

[2) 2Sin(3coiT — sin'p tangâ'-l-acoiâ + cotS'.

Rapport des(}lémejils<is' ,d{:,' .~^\ii.s.<:>^h irnisiéme équation

yGoosle

5,92 LIVRE III. — DES COORDOBNÉES GÉODÊSIQUliS.

du groupe (1) iJu n" 190, on porte les valeurs de R' cl de P', on obtîeni

ds' ' 2(ïtangô' ds '

c'est le rapport inverse de la vitesse de translation du point de contact du cercle roulant sur le cercle fixe à la vitesse angulaire du cercle roulant par rapporta la tangente au point de contact.

Relations angulaires. — Si dans la première des deux équations (3), on porte la valeur de rfs'=a tango' (/«', que l'on obtient

en remplaçant P' par -^ dans l'expression de P' écrite plus

haut, on a

t-sin'j3'iang"o'

Si l'on remplace dans le dénominateur i par cos'[3' + sin'[3', cette équation s'intègre immédiatement, et l'on trouve en représentant par e'j la constante de l'intégration, l'intégrale suivante 5 ■ ° ... 37 — arc lang = — %■ ,

ou bien

,-,, langS' , e'„ — e'

On trouverait de même, en opérant sur la seconde des équations (3),

de tang<3 </|3

1 langâ' I + sin'Plang'â'

sinô e-^B, / lang&\

[6 -T-37 5 = arc tang = — ^r\\

' ' sinâ' acosâ \ " cosâ'/'

on déduit, en divisant [5] par (6),

éi^uation évidente, et qui résulte de </*= ds'\ on déduit

CHAPIinE IV. — UKS LIGNES CONJUGUÉES, ETC. 393

el, coiiséqueramenl.,

jarc(u.ng:=cosâ'ian8Î^)

I + arc f tang=cosâ'tang- . ^, - ■■■ .° ] — ax.

Rayon de courbure géodésique de l'épicyato'ide. — Ce rayon de courbure est donné par la relation \. = x-^-:'; on a donc, par suite des équations (i) et (2),

/ / ■îsinS'tangâ' \

r = arc tang = — v-^-^;-- — ,-î

I +arc coi= - (sinp'tangâ' -1- ^-^ JJ-

Angle de contingence tangentielle de l'épicyclotde. — On a du ^ de -h dp, et conséquemment

: : j jfî/ tango' dp

'^' '^ langâ i + sin'p'tang'â"

d'une autre part en appelant rfE l'angle de contingence géodésique de l'épicycloïde, l'on a rfE=:cos(T-t-T')</£, rfw=:cosrrfe, donc

COSî

donc, le second membre est connu en fonction de la variable indépendante P', en se reportant aux formules (2), (8] et (9).

Ânglg de contingence tangentielle de la développée géodésique de l'épicjcloïde. — On a la relation

i^ïsinp — sini-f/s, on en déduit

tnngo' sin^'f/e' ''"' ^~ SiUT

Or l'on a, d'après (?.),

v'4sin'^i3' + (sin'(S'tangiî'4- 2C0lâ+ cota')'

294 LIVRE III, — DES COOBBONNÉES GÉODÉSIQUKS.

porlani celte valeur ainsi que celle de dé (4) dans l'éqimlion (lo), on obtient

(,,)-d.=ta„s3'>^iîH!tyîï?ï:

sin'p'lang'^'

qui fail connaître l'angle de contingence dz en fonction de la variable indépendante [3'..

195. Examinons le cas où le cercle roulant est un grand cercle de la sphère, et le cercle directeur, un petit cercle. Il n'est pas permis de prendre |3' pour variable indépendante, parce que cet angle est constamment nul, comme le prouve la formule (i); t' n'étant autre chose que l'arc du cercle roulant compris entre le point décrivant et le point de contact, on a l'équation a-z' = s, d'où l'on déduit

t' = eiangâ;

or l'enveloppe des arcs / est le petit cercle directeur, donc z est constamment nul et conséquemmeni r' = t.. On a donc pour rajon de courbure langentielle de l'épicycloîde

lî'^ «lang(elangô).

L'angle liE de contingence langentielle de cette combe est donné par

(/E:=rfecost := t^ecos(etangâ),

on déduit, E„ étant la constanie de l'intégration,

(E + E,)tang-3--sin(elangô).

Si l'on appelle d% l'arc élémentaire de l'épicycloîde, on ;i

4% rt ( E + Eo) tanga (i^ ~ v*! — {EH-E„)'tangM'

qui est l'équalion naturelle de la courbe. On reconnaît que c'est une hélice sphérique; elle peut s'écrire sous la forme

rfg «(E + E,i)tangij

cn.U'iTiiii lY, — uns i.diNEs cONJuUiJÉiis, hk.

On voit qLLfî celle courbe est rectifiabie; ciir on rt, m

, éUuit

ine constante.

(A-S,r-^ «=(EH-E.)Hang'a = M'.

196. Des roulettes planes. — Il est nécessaire que nous disions quelques mois des roulettes planes, pour l'interprétation géométrique de quelques résultats obtenus dans les Chapitres précédents.

Le problème des roulettes planes consiste en ce que le mouvement d'un plan est déterminé par cette condition, qu'une courbe C située diins ce plan, et invpriablement liée avec lui, roule sans glissement sur une courbe plane C, et parallèlement à son plan, et l'on se propose de trouver l'enveloppe V dans le plan fixe d'une courbe v' située dans le plan mobile.

On trouve les mêmes équations (i) et (2) que dans le n''19ô, avec cette différence, que «sioT, «sinT' sont remplacés par les lignes t, t', el que les rayons de courbures langenlielles R, K' sont égaux aux longueurs. ï et C. D'après cela, les équations (4) et (5) du même numéro, sont remplacées par les suivantes :

( l ) t^l' --JV -h 31',

desquelles il est facile de déduire, comme précédemment, toutes les propositions intéressantes de la théorie des roulettes planes.

Enveloppe v d'une ligne droite. — Contentons-nous d'examiner le cas particulier où il s'agit de trouver l'enveloppe v d'une ligne droite, située sur le plan mobile.

Comme le centre de courbure de la ligne droite est à l'infini, il faut poser dans l'équation (2) t' infini, ce qui donne la relfiiioLi

Or si l'on cherche l'enveloppe d'une Llruiie dont un des

^9** LivRL ni. — Dj;s cooliuonnEks GÉouÉsiyuiiS.

points parcourt la courbe -t- ^ P, pendant qu'elle lourne autour de ce point d'un mouvement angulaire, relativement à la

ds tangente en ce point, donné par la relation ~ = D, dans, ia-

([uelle (3 est l'angle de la droite el de la tangente, et D se compose par rapport à (3, comme P' se compose par rapport à e, on trouvera, dans le système langentiel i et [3 la même équation (3) pour représenter l'enveloppe de cette droite. Donc l'enveloppe de celte droite n'est pas distincte de la développée de l'enveloppe v produite par les diverses

ds' positions de la droite v' lorsque la courbe -^ = P' roule sur

ds la courbe -r- =: P, en entraînant couc droite v , de

Corollaire I. — Soit la courbe roulante C un cercle. On peut toujours supposer que la droite v' est un diamètre de ce cercle perpendiculaire, à l'origine du mouvement, aux deux courbes G et C en leur point de contact, puisque par un point quelconque du plan mobile on peut mener une parallèle à la droite donnée, el que ces deux droites auront pour enveloppes deux courbes ayant même développée. Dans le cas actuel, la roulette engendrée par un point de la circonférence du cercle C roiila^nt sur la courbe C qui est quelconque, est définie; or il est aisé de voir directement que l'enveloppe de la courbe v sera une roulette de même espèce engendrée par un point de ia circonférence d'un cercle dont le diamètre est égal au rayon du cercle C, ce point coïncidant à l'origine du mouvement avec le point de contact des deux courbes C el C, puisque les pieds des perpendiculaires abaissées des points de coniact de ces deux cercles dans les diverses posilioits sur la droite v', tracent sur le plan mobile un cercle dont le rayon est la moitié du rayon du cercle C De là résulte que si l'on chcrclie l'enveloppe d'une droite dont un des points parcourt la courbe ds pendant qu'elle tourne autour de ce point, de telle sorte que le rapport des vitesses ds, dp reste constant el égal à D, cette enveloppe sera la développée d'une roulette engendrée par im point de la circonférence du cercle dont l> est le diamèlrc, lorsque ce cercle roule sur la courbe </*.

CIlAl'lïllE IV. — DES LlGflES CONJUGUÉES, ETC. 2t)'J

Coi-oUaire II. — Si la coui-be directrice C est aussi un cercle, cette développée sera une épicycloïde, ainsi que l'enveloppe V de la ligne v'.

197. Interprétation géométrique de l'équation (lo) du n' 180. — Ce qui précède nous donne le moyen d'interpréter géométriquement l'équation (lo) du n" 180, et d'avoir à chaque instiini la direction du rayon vecteur géodésique coupant

ds la courbe -;- =^ P, considérée dans ce numéro, sous l'angle

de °

ds dont la variation est donnée par la relation -r-s =: D.

l'On fera rouler sans glissement un plan T sur la surface le long de la courbe s, le lieu des points de contact sur ce plan sera une courbe S telle que la tangente fera avec une droite fixe OX située dans ce plan, et supposée tangente à l'origine de la courbe, un angle e dont ics variations seront données

par la relation -r- = P.

■^ de

2° On fera rouler sur !a courbe S et dans le plan T, une

courbe S' dont l'équation naturelle, par rapport à une droite

fixe O'X' située dans son plan T', sera -7^; = 1>> [^' étant l'angle de la tangente à cette courbe avec i'axe 0' S', cette courbe étant tangente à son origine à l'ase O'X'.

3° On supposera que le point de contact du plan mobile T tangent à la surface donnée en un point de la courbe ds, et le point de contact de la courbe roulante S' sur la directrice S, ne cessent'jamais de coïncider pendant le mouvement, et qu'à l'origine de ce mouvement les points et 0', ainsi que les. axes OX, O'X' ont coïncidé.

4" Par le point A de contact des deux courbes, on mènera dans le plan de la courbe roulante, une droite A^ parallèle à O'X'.

Cette parallèle donnera à chaque instant ia direction du premier élément du rayon vecteur géodésique t, mené du point A de la courbe ds, et coupant cette courbe sur la surface pro-

ds posée sous l'angle j3 donne par ly condition — ^ I) du pro-