LIVRE lU. — DKS COORUOKNÈES GÉÛDÉSUJUKS

blême en question. En effet l'enveloppe de la droite Aa; sur le plan T n'est autre chose que la développée plane de la courbe lieu des positions successives sur le plan T d'une droite fixe (yy menée dans le plan T par le point 0' perpendiculairement a O'X' (ti- J96).

On pe.ut aussi opérer de la manière suivante : 1" Développer sur un pian T la surface développable tangente à cette surface le long de la courbe <is, et faire rouler sur la courbe des contacts S après le développement une

courbe plane S' ayant pour équation naturelle -7^ ^D, par

rapport, à une droite fixe O'X' située dans son plan, p' étant l'angle de la tangente en un de ses points avec l'axe fixe O'X', et cet axe étant tangent à l'origine de la courbe S'.

2" Après avoir mené dans le plan de la courbe S' l'axe O'Y' perpendiculaire à O'X', construire la développée du lieu des positions successives de O'Y' ainsi que les diverses tangentes t„ /f,, l\,. . ■ de cette développée.

3° Replacer la surface développable dans sa position primitive autour de la surface donnée.

La figure ainsi obtenue sur la surface développable après cet enveloppement, sera telle que tous les éléments curvilignes de cette figure et de la figure correspondante tracée sur la surface proposée seront tangents chacun à chacun le long de la courbe ds de coniact des deux surfaces.

Les tangentes l„ t\, t", de la développée plane sont devenues après l'enveloppement des lignes géodésiques de la surface développable tangentes à la développée par rayons vecteurs géodésiques de la transformée de l'enveloppe des positions de O'Y', ces rayons vecteurs géodésiques sont donc tangents aux divers points de la courbe ds située sur la surface proposée, aux rayons vecteurs géodésiques tracés sur la même surface cl coupant la courbe ds d'après la condition du pro-

rayons de courbure tangenlielle tels que R.

L'enveloppe des rayons vecteurs géodésiques / tracés sur la surface donnée, d'après les conditions du probiènte I, n" 179,

Cll.U'iTRE IV. — DES LIGNES CONJUGUÉES, ETC. 299

esl donc une ligne délerminée et compiélement définie. Elle dépend sur une même surface donnée, des deux courbes

cédentes ; nous appeiierons cette enveloppe la résultante sur

la surface des deux courbes (P) et (D).

ds Sur une même surface, lorsque la courbe -^ ^ P sera telle

que la fonction P conservera la même forme, si la fonction D conserve aussi la même forme, les diverses enveloppes résuitaules seront de même espèce. Celte remarque nous conduira à de nombreuses conséquences.

§ III. — Des enveloppes géodésiques.

198. Pni>BLfi5iF. IV". ^ Les mêmes conditions étant posées que dans le n" 188, lu relation F est linéaire par rapport aux angles [3i, Pi . . . , [3„„ et donnée par la formule

(1) B,[3, + It,|5,-t-...-h K% = C,

dans laquelle B, , Bj . . . , B„, ei C sont des constantes, enveloppe du dernier rayon géodésique.

Points de contact. — Ils sonl conjugués entre eu^: par la relation

^Sb-S^'

laquelle fait connaître, par les propriétés des moyennes harmoniques, le rajon de courbure tangeniielle de la développante de l'enveloppe cherchée da„.

Rayon de courbure tangentielle. — La foi'raule (5), n" tSO. se réduit à la suivante :

on en déduit l'expression et la construction du rajon de courbure de l'enveloppe, en opérant comme au n' IS'J.

3oo UVHE III. ~ DES COORDONNËES Ci ÉO DÉS 1(^1] ES.

Conséiiueiices des formules précédentes. — l.'équalion dil' férentielle de l'équation {:) peut s'écrire sous la forme

Supposons que les rapports D relatifs aux [m — \] premiers rayons géodésiques soieni conslaiils, celte équation montre que le rapport du dernier rayon géodésique sera aussi constant. On déduit les propositions suivantes :

i" Si le sommet A d'un faisceau de m rayons vecteurs géodésiques, se meut sur une courbe directrice*, et que (m— -i) de ces rayons enveloppent (m — i) courbes de même espèce, c'est-à-dire qui seraient chacune la résultante (n'IST) de ta courbe (P) et d'une courbe D de forme constante; si de plus les angles ^,, Pî, ..., p™ que ces rayons vecteurs forment avec la tangente à la courbe directrice, sont liés entre eux par une relation linéaire, le dernier rayon vecteur, géodésique enveloppera une courbe de même espèce que les précédentes.

2° Si la surface est un plan, et que le sommet A d'un faisceau de m droites situées dans ce plan se meuve sur une courbe directrice s\s\m—\ de ces droites restent tangentes à m — I développées de roulettes engendrées par autant de cercles roulant sur cette directrice; que, de plus, la somme des arcs décrits du point A comme centre avec des rayons Bj, Bî,, . . , B™ et compris entre la tangente à la directrice en ce point et chacune des droites du faisceau, reste constante, la m''"' droite du faisceau enveloppera une développée de roulette engendrée par un point d'une circonférence de cercle roulant sur la même directrice.

En effet, par suite des conditions de langence que remplissent les m — i premiers rayons du faisceau, les rapports D,, Dj,. . ., D„, sont constants d'après le n° 197. Donc, par suite de l'équation (3), la valeur de D« est aussi constante, et conséquemmenl, le dernier rayon du faisceau enveloppe une développée de roulette engendrée par un cercle roulant sur cette directrice.

3" Les mêmes choses étant données que dans le théorème II, si la directrice s est un cercle ou une droite, les développée^

— DES LKINES CONJUGUÉES, 1!TC. 3oi

des roulelles deviennent des cpicycloïdes ou des cjdoïdes tangentes en leur sommet à cetie directrice.

4° Si quelques cercles générateurs se réduisent dans les théorèmes précédents à des points fixes, les développées des roulettes correspondantes sont ces points fixes situés sur la courbe directrice, et avec ces condilions les mômes théorèmes existent.

5° Si sur une surface le sommet d'un angle constant foriné par deux lignes géodésiques se meut sur une courhe directrice, pendant que l'un des deux côtés enveloppe une courbe résultante, de P quelconque, et de D constante (n" 197), l'autre côté enveloppera une courbe de même espèce. On déduit :

6° Si dans un plan, pendant que le sommet de l'angle constant de deux droites se meut sur une courbe directrice s, l'un des deux côtés reste tangent à une développée de roulette engendrée par un cercle roulant sur la directrice s, l'autre côté enveloppera une développée de roulette engendrée par un cercle roulant sur la même directrice.

7" Le même théorème a lieu si l'angle étant variable, l'angle (3, que le premier côté forme avec la tangente est supplémentaire de l'angle [3s, que le second forme avec la même tangente au sommet à la directrice.

8° Dans ces deux derniers théorèmes, si la directrice s est un cercle ou une droite, tes développées sont des épicycloïdes ou des cycloïdes tangentes en leur sommet à, la directrice s.

9" Si sur une surface le sommei du faisceau des trois rayons vecteurs géodésiques se meut sur une directrice s, et que deux de ces rayons enveloppent deux courbes de même espèce résultantes, la première de la courbe P et de la courbe 1),, et la seconde de la courbe P et de la courbe D„ D, et Di étant deux constantes; si le troisième rayon partage l'angle des deux premiers dans un rapport constant, il enveloppera une courbe de même espèce que les précédentes.

10" Si dans un plan le sommet du faisceau de trois droites se meut sur une courbe directrice s, et que deux de ces droites enveloppent deux développées de roulettes engendrées par deux cercles roulant sur cette directrice, si la troisième droite partage l'angle des deux premières dans un rapport constant, elle enveloppera une développée do roulellc engendrén par

'.ioî I.IïHH ill. — DES COOltUOKNÉES ilÉOBÉSlQUHS.

uLi cercle roulant sur la même directrice, et si la directrice s est un cercle, toutes ces développées sont des épicycloïdes tangentes en leur sommet à ce cercle.

1 1° Si le nombre des rayons se réduit à deux seulement, le théorème I fondamental a encore lieu, lorsque D, est une fonction quelconque, et les deux courbes enveloppées sont encore de même espèce.

En effet, la première est la résultante de P et de D,, la seconde est la résultante de P et de B.. Or d'après l'équation (3') D, est proportionnel à D,. Donc, etc.

Il résulte de là :

13" Si dans un plan le sommet d'un angle formé par deux lignes droites se meut sur une directrice, et que l'une de ces droites enveloppe la développée de la courbe, lieu des positions d'une droite située dans le plan d'une courbe quelconque D roulant sur la directrice, l'autre droite enveloppera la développée de la courbe. Heu des positions d'une droite située dans le plan d'une courbe de même espèce que D, roulant sur la même directrice, pourvu que les angles |3, et pu que les deux côtés de l'angle font avec la tangente à la directrice s, soient soumis à une relation linéaire de ces angles.

Les conséquences de ce dernier théorème sont nombreuses.