INTRODUCTION. XXXI

lion dans les oalciils; une seconde simplification rcsiilte de ce que la seconde série de lignes coordonnées coupe orthogonalement les lignes géodésiques de la première série. iVIais, pour introduire ce système, il faut qu'il ne soil pas trop éloigné de celui qui résulte de la définition de la courbe.

XVIII. Le problème de l'analyse des courbes situées sur une surface est composé des mêmes questions secondaires que lorsqu'il s'agit de courbes planes.

S'agit-il du problème direct? La détermination du point est donnée par l'équation de ta courbe entre les coordonnées curvilignes de la définition. La détermination de la tangente dépend de la différentiation de celte équation; on obtient ainsi une relation entre un point quelconque de la courbe, sa tangente et les tangentes aux lignes coordonnées. La recherche de la courbure de la courbe dépend de la différentielle seconde de son équation. Cette différenlielle exprime une relation entre les coordonnées du point, les tangentes aux trois courbes et les rayons de leurs cercles osculateurs. Mais ici, il s'introduit dans le calcul deux éléments qui jouent un grand rôle dans la théorie : ce sont les projections des courbures de la courbe et de ses lignes coordonnées, les unes sur le plan normal, les autres sur te plan tangent à la surface, que l'on peut appeler, pour cette raison, courbures normales et courbures tangentielies. Ces dernières ont aussi reçu le nom de courbures géodésiques. Mais, pour éviter une confusion qui ne manque pas de se produire lorsqu'on fait usage de coordonnées géodésiques, nous leur conservons le nom de courbures tangentielies. Si l'on passe à la différentielle troisième, on obtient une relation entre les variations des courbures de la courbe et des lignes coordonnées, et il s'introduit un élément appartenant exclusivement à la surface, indépendant des lignes coordonnées, auquel Gauss a donné le nom de courbure de la surface. La quadrature et la rectiflcalion de la courbe conservent te même sens que dans le cas des courbes planes, et s'obtiennent par une analyse tout à l'ait semblable.

Le problème inverse de l'analyse des courbes situées sur une surface donne aussi naissance aux mêmes questions secondaires que le problème des courbes planes, ainsi qu'à des

SSmi INTRODUCTION.

opérations du môme ordre ni riiii s'erfecliienl de lii i

XIX. Il est intéressant d'examiner, en ce qui concerne les différeotialions de l'équation de la courbe, si elles peuvent aussi s'effectuer géométriquement, comme nous avons vu que cela arrive pour les courbes planes, et s'il existe des principes de géométrie dont l'applicalion uniforme donne, dans tous les cas, les relations différentielles, soit du premier, soit du second ordre.

Il est évident que le passage d'un point à un autre de la courbe, infiniment voisin, produit, quand on emploie les coordonnées de la question, un polygone infinitésimal tracé sur la surface, lequel représente la différentielle première de l'équation de la courbe, et que le passage à un nouveau point produit aussi un nouveau polygone infinilésimai qui se rapporte à la différentielle seconde, et ainsi de suite. On pourra donc aussi effectuer géométriquement les différentiations, à condition que l'on saura déduire de ces polygones les relations qu'ils contiennent. Or, lorsque les coordonnées sont géodésiques, il existe deux théorèmes qui donnent, chacun, l'une des deux relations qui appartiennent à chacun de ces polygones infinitésimaux. Le premier théorème, qui donne les relations linéaires, est dû à Gauss, et il consiste en ce que si des lignes géodésiques sont coupées orthogonal ement par deux courbes, les arcs interceptés sont égaux. Le second, qui est également dû au même géomètre, donne les relations angulaires el par conséquent les relations qui lient entre elles les projections tangentielles des angles de contingence, ou les variations de ces projections, suivant l'ordre infinitésimal du polygone. Il consiste en ce que la somme des angles d'un polygone géodésique, diminué d'autant de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux, est égale à l'aire sphérique ou courbure intégrale du polygone. Ces deux théorèmes ont uiie grande importance, el le second constitue un des plus grands progrès de la géométrie des surfaces ; il s'applique non-seulement au cas où le polygone est géodésique, mais encore au cas où le polygone est quelconque. En effet, quel que soit le polygonn tracé sur la surface, comme on peut

INTIiODUCTIOK. XXXdl

lî à tout côté non géodésique une ligne brisée inlinilésimale composée d'arcs géodésiques, on obtient un polygone auxiliaire qui est lui-même géodésique; et, en appliquant le théorème de Gauss à ce second polygone, on obtient les relations angulaires qui appartiennent au premier, qui est quelconque, ces relations se rapportant aux différentes courbures ou à leurs variations, suivant l'ordre infinitésimal de ce polygone.

On a donc aussi un procédé purement géométrique pour effectuer les différentiations des équations des courbes tracées sur une surface, et pour obtenir ces différentielles sous leur forme la plus simple et la plus utile, puisqu'elle met en relief, sans aucun élément étranger à la question, les propriétés des tangentes et des courbures des courbes dont il s'agit.

XX. Lorsqu'on veut définir une courbe non plane, sans introduire aucun élément étranger à la nature de la courbe, deux relations sont nécessaires et suffisantes : la première donnant le rapport de l'arc élémentaire à sa déviation par rapport à l'arc infiniment voisin; la seconde donnant le rapport du même arc à la déviation du plan osculateur par rapport au pian osculateur infiniment voisin. Le premier rapport pris isolément ferait connaître la courbe plane dans laquelle se transformerait la courbe proposée, si l'on développait sur un plan la surface développable dont cette dernière courbe est l'arête de rebroussement; le second rapport ferait connaître les flexions successives de celle surface pendant le développement. Mais, si l'on connaît la surface sur laquelle se trouve cette courbe, la première de ces deux relations suffit pour que la courbe soit déterminée, ou, pins simplement encore, il suffit de connaître la relation qui donne le rapport de l'arc élémentaire à la déviation de la projection de l'élément Infiniment voisin sur le plan langent, ce rapport étant exprimé en fonction de la déviation tangeniielle intégrale à partir d'un certain point de la courbe. Cette relation est l'équation naturelle de la courbe par rapport à la surface qui la contient; les coordonnées naturelles sont, d'une part, l'arc compté à partir d'un certain point et l'angle égal à la somme des déviations élémentaires tangenlielles, à partir de la même origine.

Tous les avantages que nous avons signalés, comme appartenant à l'analyse qui résulte de la définition naturelle des courbes planes et du système de coordonnées qui s'y rapporte, appartiennent aussi, sans restriction, aux courbes situées sur une surface, définies par leurs équations naturelles par rapport à cette surface. 11 semble même que cette analyse devienne plus importante, lorsqu'on veut soumettre l'étude de ces courbes à une méthode uniforme et régulière. Les applications nombreuses que nous ferons de ce genre d'analyse serviront à en préciser le caractère et à en montrer les avantages.

XXI. Malgré toutes ces analogies entre l'analysé des courbes planes et l'analyse des courbes tracées sur une surface, la seconde présente des difficultés d'un ordre élevé, qui proviennent de réquation de la surface qui s'introduit forcément dans les calculs. Or une grande simplification résulte de l'introduction que nous avons faite dans cette théorie d'un élément nouveau, auquel nous avons donné le nom de courbure inclinée.

Simple par sa définition, puisque c'est le rapport de l'angle des tangentes à deux courbes infiniment voisines de l'une des deux séries des lignes coordonnées à l'arc qu'elles déterminent sur une courbe de l'autre série, cette courlmre n'offre rien que de précis, soit dans son intensité, soit dans sa direction.

Complexe dans sa composition, elle comprend, tes concentrant en un seul, plusieurs éléments géométriques qu'il faudrait considérer et manier successivement. En effet, la composante normale de cette courbure a une expression linéaire par rapport aux composantes normales de la courbure propre de l'une des deux lignes coordonnées et de la seconde courbure géodésique; sa composante tangentielle n'a pas une expression moins significative, puisqu'elle est la somme de la courbure tangentielle de ta même ligne coordonnée et du rapport différentiel de l'angle des lignes coordonnées à l'arc de l'une d'entre elles. Ces deux théorèmes ont, en outre, le double avantage de rendre la courbure inclinée indépendante de tout système coordonné, et applicable à la fois aux calculs et aux démonstrations.

liNlllODUCTION. XSLXV

De là résulte que cet éiémenl de^ienl un instrument précieux de recherclies : il donne du laconisme au langage, par la condensation de plusieurs notions en une seule, de l'aisance à la marche analytique par la suppression de longs calculs, de la vie aux Tormuies par la réalité géométrique dont elle revêt les symboles algébriques. C'est grâce à la présence de cet élément, dont nous avons fait un usage incessant dans nos recherches déjà publiées, que nous avons donné à ces recherches une simplicité dont les géomètres ont bien voulu nous tenir compte. C'est au secours que nous a fourni cet élément, que nous devons d'avoir pu traiter dans toute sa généralité ie problème de l'analyse des courbes sur une surface quelconque.

XXII. Ce problème si intéressant a provoqué de très-remarquables travaux dus à de très-habiles géomètres, à la tète desquels se place l'illustre Gauss, auteur ries belles recherches sur les surfaces courbes. Cet ouvrage, qu'on ne saurait trop méditer, contient les principes les plus simples, les plus féconds de la géométrie des surfaces; mais l'auteur n'établit que les relations qui se rapportent aux courbures tangentielles des lignes, et ne s'occupe pas des courbures normales, qui donnent pourtant naissance à des relations non moins intéressantes. Les successeurs de ce grand géomètre se sont inspirés de ses travaux, et ils n'ont pas peu contribué à vulgariser ses découvertes, soit par de belles démonstrations géométriques, soit par des études particulières qui leur font le plus grand honneur. Qu'il nous suffise de citer les noms de MM. Liouville, Lamé, Bonnet, Bertrand, Serret, auxquels il faut ajouter celui d'Edmond Bour, enlevé sitôt au culte des sciences exactes, qui lui donnèrent et qui lui promettaient de si belles conquêtes. Puissions-nous avoir l'autorité qui nous manque pour donner à tous en général, et à chacun en particulier, ta juste part d'éloges qui leur sont dus, à cause des progrès d'analyse et de géométrie accomplis par eux ou sous leur inspiration ! C'est à l'un de ces maîtres de la science que revenait la mission d'écrire le livre que nous nous décidons, malgré nous, à publier. Cette mission , ils l'auraient sans doute acceptée, s'ils n'avaient été détournés de ce but par l'attrait de hautes études et la solution de questions plus importantes.

KXSVl INTRODUCTION.

XXm, Comme nous venons de le dire, noire livre consiste à présenier dans tout son développement le problème de l'analyse des courbes tracées sur une surface, et à montrer tout ce qu'il gagne en simplicité dans ses différentes phases, par suite de l'introduction des courbures inclinées. Écrit sous l'influence d'une pensée unique, il conserve toujours la même uniformité de marche, la même fidélité au principe fondamental. Cette régularité gêne quelquefois l'élan du géomètre, mais elle le guide, et le lecteur aime à voir, dans une méthode régulière, la possibilité d'atteindre la solution des questions les plus variées.

Comme le but que nous nous sommes proposé a été d'étudier les courbes situées sur une surface par j'analyse la plus simple, et de montrer comment elle procède pour traiter toutes les questions que l'on peut se proposer sur cette matière, le livre que nous publions est un livre d'analyse et non de géométrie. La marche analjiique est donc celle que nous avons dû préférer. !I nous aurait pourtant été facile d'établir toutes nos formules fondamentales par la géomélrie, mais, par là, nous aurions altéré le caractère d'unité que nous tenions principalement à lui donner. Le rôle de la géométrie ne devait pourtant pas être nul; aussi, l'avons-nous fait intervenir toutes les fois qu'il s'agissait d'interpréter les formules, de manière que leur signification fût clairement établie, comme cela doit être quand il s'agit de l'étude des courbes.

La méthode analytique que nous avons suivie est celle dont nous avons déjà fait usage dans notre Théorie des coordonnées curvilignes. Outre ses avantages généraux, cette analyse en contient de particuliers non moins précieux. Elle dévoile les liens intimes entre cette théorie et celle des lignes tracées sur une surface, elle sert de fil conducteur pour arriver sûrement à la solution des questions correspondantes de ce second problème, elle montre que les relations qui forment cette solution sont ou bien Identiques à celles du premier problème, ou bien implicitement renfermées dans celles-ci, et que loujours il sera facile de les obtenir, soit par un calcul direct, soit en les évoquant des formules générales.

XXIV. Voici maintenant la division que nous avons suivie. La première Partie est relative à la tliéoria générale des courbes en tant que tracées sur une surface. Nous établissons les relations qui existent soit entre les lignes coordonnées, soit entre la courbe et les coordonnées auxquelles on les rapporte. Ces relations sont de deux sortes : les unes regardent les courbures langentielles, les autres les courbures normales. Les premières étaient déjà connues sous leur (orme la plus générale, il n'en était pas de même des secondes qui n'avaieni été données que dans des cas particuliers. L'introduction de la courbure inclinée permet d'établir ces deux sortes de formules, au point de vue le plus générai, tout en leur conseryanl une forme aussi simple que celle qui résulterait d'une hypothèse particulière; le propre de cette courbure est d'être un élément de généralisation, qui s'incorpore dans la formule pour la simplifler d'autant plus que celte formule est plus générale. Du reste, ces relations sont elles-mêmes des cas particuliers des relations se rapportant à un système quelconque de trois surfaces coordonnées et déjà publiées par nous en 1862, dans notre Théorie des coordonnées curvilignes quelconques, il suffit de faire deux cosinus nuls dans les secondes pour retrouver les premières, ce qui revient à dire que deux surfaces coupent orthogonalement la troisième.

La seconde Partie est consacrée aux applications des formules établies dans la première. Le nombre des questions résolues est très-grand, trop grand peut-être, mais ce n'est que par les exemples que l'on peut montrer comment cette théorie s'associe à l'analyse infinitésimale. Ces différentes questions forment trois catégories distinctes. La première contient les questions qui ne dépendent que des paramètres différentiels du premier ordre, et dont les équations différentielles sont généralement du premier ordre et du premier degré. La seconde se rapporte aux lignes qui dépendent des courbures normales, et dont les équations différentielles sont du premier ordre et du second degré. La troisième a trait aux lignes qui dépendent des courbures tangeniielles, et dont les équations différentielles sont du second ordre ou d'un ordre supérieur. Plusieurs de ces questions nous sont personnelles, d'autres ont déjà été traitées par les géomètres, mais ia fidélité

i|u'il nous fallait conserver pour noire méiliode, afin de ne pas compromeilre le plan rie l'ouvrage, en a fait pour nous des questions nouvelles.

La troisième Partie est spécialement consacrée à l'étude des courbes dans le système de coordonnées géodésiques et dans les systèmes qui en dépendent. Ces systèmes ne sont pas nouveaux, mais l'élude générale des courbes dans ces systèmes était susceptible d'être approfondie. Aussi la plupart des formules que nous en avons déduites sont nouvelles, soit en elles-mêmes, soîi par la forme simple que nous leur avons donnée, par suite de l'inlroduciion de la courbure inclinée. Nous avons montré, par de nombreux exemples, combien cetle analyse esl générale, comment elle facilite les calculs, et avec quelle simplicité elle se prête a rémde des courbes d'après leurs équations naturelles.

XSV. L'ouvrage que nous offrons aux géomètres, sur V Analyse infinitésimale des courbes tracées sur une surface, se compose principalement de nos recberches personnelles sur cet Important sujet, les unes déjà anciennes et publiées par nous à diverses époques, et les autres entièrement nouvelles et inédites. Il convient que nous distinguions les unes des autres, et la justice nous fait un devoir, à cause des géomètres qui oni écrit sur la même matière, de donner les dates précises des premières avec les pièces justificatives.

Livre premier. — Le premier Chapitre, relatif a la définition et aux diverses expressions de la courbure inclinée, se trouve implicitement renfermé dans notre Théorie des coordonnées cuvilignes, 1863, et explicitement dans notre Mémoire sur un double système de surfaces réglées, publié en 1866 dans les Mémoires de V Association Scientifique de France.

Les Chapitres 11 et III, consacrés aux coordonnées curvilignes quelconques tracées sur une surface, sont la reproduction de nos recherches sur ce sujet : Journal de Crelle, i. LVIII, 1860; Annales de Mathématiques, de M. Torloliiii, i. VI. Lorsque les formules se rapportent à, une surface, nous n'avons rien à ychanger, elles sont littéralement reproduites; iorsqu'elie^; se rapportent à doux nu Irois des surfaces coor-

xx\ix

données, nous n'avons eu besoin t\i\c, d'y i;iire nuls un ou deux cosinus.

Le Chapitre IV esi une étude sur les propriétés d'une courbe quelconque tracée sur une surface; écrite depuis plu; années, celle élude n'a pas été publiée jusqu'à ce jour.

Le Chapitre V, qui a pour objet la courbure des surfaces, se compose de deux parties qui ont élé présentées à l'Académie des Sciences de Paris : la première, en i853, sous le titre de la Courbure dessurfaces; la seconde, en 1867, sous le liire de Rôle de la courbure inclinée dans la théorie des lignes tracées sur une su/face. Les principaux résultais onl élé publiés dans les Coffi/Jïej/-e/t(/«î des séances de l'Académie des Sciences, t. LVI ei l. LXV, et la première partie a élé imprimée in extenso dans h Revue des Sociétés savantes, t. VI.

Le Chapitre VI, sur les polygones tracés sur une surface, est uniravail donl quelques points seulement onl été publiés dans le journal l'Institut, décembre 1867, février 1868.

Livre deuxième. — Il ne renferme qu'un peiit nombre de questions déjà publiées par nous. Ce sont, dans le Cliapilre 1 : lies trajectoires sous angle constant des lignes tracées sur les surfaces de révolution (Journal de M. Liouville, l. XI, 1846); Des trajectoires orttiogonales des lignes ellipsoïdales (nos Recherches sur les surfaces du second ordre, i864). Dans le Chapitre II ; Des lignes de courbure {Comptes rendus, 1867); Des lignes ellipsoïdales conjuguées (nos Recherches sur les surfaces du second ordre). Dans le Chapitre 111 : De la ligne géodésique ellipsoïdale et des questions qui en dépendent [Compte rendus, t. L, 1860). Toutes les autres questions sont nouvelles, du n3oins en ce sens qu'elles n'ont jamais été publiées par nous, et que la solution que nous eu donnons résulte de notre ihéorie.

Livre troisième. — Il a plusieurs points de contact avec un Mémoire présenté par nous à l'Académie des Sciences de Paris, en i85o, sous le litre : Des développées imparfaites conjuguées des courbes planes. Ce sont les mêmes principes, les mêmes procédés, la même analyse, nous allions dire les mêmes équations, si les questions relatives aux courbes situées sur une surface n'exigeaient un principe nouveau, re-

XL INTBODL'CTION.

présenté par le ihéorème de Gaiiss, dont l'inirodoction forcée dans ces dernières questions modifie les équations relatives aux courbures. Mais celte modification complète les formules par raddîtion de nouveaux termes, sans altérer les formes qui existaient dans le cas des courbes planes. Toutefois, à raison des termes nouveaux qui s'introduisent, et de la généralisation qui en résulte pour le problème des lignes tracées sur une surface, le travail contenu dans ce troisième Livre est distinct de celui que nous avons mentionné, et toutes ses parties sont inédites jusqu'à ce jour-

XXVI. D'après ce que nous avons dit jusqu'à présent, notre livre n'a pas pour fin de présenter l'énumératîon des propriétés déjà connues des courbes non planes, ainsi que les remarquables travaux des géomètres sur ces questions, il est destiné à systématiser les recherches que l'on peut faire sur ce sujet, en les faisant dépendre d'une analyse régulière. C'est un livre didactique sur l'analyse des courbes, dont le but est de montrer comment on peut traiter les diverses questions de géométrie curviligne- Les préceptes y sont confirmés par des exemples, et les applications font connaître l'esprit de la méthode. La solution des questions particulières y est portée assez loin pour pouvoir être terminée par ceux qui voudraient la connaître à fond.

Malgré tous les soins que nous avons pris, nous ne saurions nous promettre que quelques, erreurs de calcul ne se sont pas glissées dans les nombreuses applications que nous avons faites de la théorie. Dans les ouvrages d'une certaine étendue, écrits pour mettre en relief l'unité de méthode et sa puissance, tous les calculs devant èlre exécutés par un seul, les erreurs deviennent presque inévitables. Mais, si elles existent, elles seront faciles à reconnaître, et ne porteront nullement atteinte à la méthode elle-même, qui pourra toujours ôtre employée à les corriger.

DES COIJRBES

TRACÉES SUR Ht SMFSa QlElCOi\(!llE.