NOTIONS PRÉLIMINAIRES

§ I, — Des projections obliques.

1. Projection sur un plan. — Si d'un poini A l'on mené «ne parallèle à une droite donnée jusqu'à la rencontre d'un plan P donné de position, l'iniersection a de cette parallèle avec le plan P est la projection du point A suivant la droite donnée- La droite parallèle à la droite donnée est diie ligne projetante ; le plan donné, plan de projection. Si la droite est perpendiculaire au plan, la projection est dite orthogonale.

Sôit une courbe C, si l'on projette suivant une direction donnée les différents points de cette courbe, le lieu des projections de ces points est une courbe c, qui est appelée projection de la courbe C; le lieu des droites projetantes est un cylindre appelé cylindre projetant.

Soit une aire plane £2 limitée par des courbes quelconques, si l'on projette les courbes limites sur un plan, suivant une direction donnée, les projections de ces courbes limiteront une aire m qui sera la projection de l'aire donnée ii.

7, l.ivni! 1. -— PROPRIÉTÉS (iÉNÉKALES DBS COURUES, ETC.

2. Projection sur une droite. — Si d'uii point A de l'espyce l'on mène un plan parallèle à un plan donné, jusqu'à la rencontre d'une ligne donnée, l'intersection a est la projection du point A sur la ligne donnée, suivant le plan donné. La ligne qui joint le point A avec sa projection a est dite ligne projetante. Si le plan donné est perpendiculaire à la droite donnée, la projection est dite orthogonale. Si l'on projette les extrémités d'une longueur AB, sur une ligne suivant un plan donné, le segment ab compté sur celte ligne entre les projections des extrémités est la projection de la longueur AB.

Soit un contour quelconque terminé à deux points A et B de l'espace, et un point mobile M partant de A, et parcourant ce contour jusqu'au point B, il est évident que la projection m du point M se mouvra sur la ligne de projection. Or ce point pourra se mouvoir sur cette ligne tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre : si ce point se meut dans un sens déterminé, la projection parcourue sera positive; s'il se meut en sens contraire, la projection parcourue sera négative. D'après cela, l'on a la proposition suivante :

Théobème 1. — Quel que soit le chemin que suive un point mobile pour aller d'un point A de l'espace à un autre B, la somme algébrique des longueurs parcourues par la projection du point mobile est constante et égale à la projection de la droite AB.

Corollaire. ~ Si le contour est fermé, la somme algébrique des projections des éléments du contour est nulle.

3. Expression algébrique de la projection d'une longueur. Théorème il. ~ La projection l d'une longueur L sur une

ligne t parallèlement à un plan , est égale à cette longueur multipliée par le rapport des cosinus des angles que la normale au plan fait avec la longueur donnée et avec sa projection.

Soit n cette normale, les projections orthogonales de L et de / sur la droite n sont égales; de là résulte que l'on a

, . cos ( L, R )

Corollaire. — Si les côtiis d'un poljgone Cermô sont L,,

ciiAriTiiii I. — NOTIONS phémminaihes. 3

l.j, . , , l.„, l'on :i, le signeN s'cUcndiini à lous les côtés,

^ cos[/, «}