Expression algébrique de la projection d'une aire

Thëobëhe III. — La projection d'une aire plane sur un plan parallèlement à une droite, est égale à celte aire multipliée parle rapport des cosinus des angles que le plan perpendiculaire à cette droite fait avec l'aire plane et le plan de projection.

SoitÛTaire d'une face plane, w sa projection sur le plan, parallèlement à la direction donnée ; soit mené un plan perpendiculaire à celte direction : les projections orthogonales de ii et de w sur ce plan se confondent en une seule u. On aura donc

^ ^ ^^ cos(Q. M)

COS(û), u)'

5. Réciprocité. — Si, par un point on mène deux droites perpendiculaires aux deux faces Q., w, et un plan P perpendiculaire à la droite projctanie du numéro précédent; si, à partir du même point on prend sur la normale au plan Q. une longueur L proportionnelle à cette aire, cl qu'on projette la longueur L sur la normale à la face m suivant le plan P, en appelant / cette projection, les longueurs L et / seront proportionnelles aux deux aires Q. et w.

En effet, l'on a, d'après le a° 3,

cos(a), «)

donc, en comparant avec l'équation précédente, l'on aura

TiiÉoiiÈMii IV. — Si ion projette une aire plane Q. sur trois plans coordonnés obliques parallèlement aux trois axes ; si. par l'origine, on élève sur chacun des trois plans une normale

4 I.IVBE 1. — PROPRIÉTÉS «tNÉRAr.ES DES COUHBES, ETC.

proportionnelle à la projection faite sur ce plan, et qu'on achève le parallélipipède des trois normales, la diagonale menée de l'origine sera normale et proportionnelle à l'aire plane Q.

C'est une conséquence évidente du ppincipe énoncé au (îommenceinent du présent numéro.

Corollaire. — Si l'on connaît les trois projections obliques M, (0,, Ml de l'aire û, cette aire ainsi que les angles qu'elle fait avec les trois plans coordonnés seront donnés par les même relations qui lient là diagonale et les trois côtés contigus d'un parallélipipède avec les angles qu'elle fait avec ces trois côtés. On aura donc les deux relations û COS (ii, w) = w cos {;>, (0 ) + &i, cos [ w, a, ) -|- w, cos ( w, w,), îî' =(,!=+ r.>;+ MJ 4-2ûifu, cos(w, (0|)

C. De la perpendiculaire au plan de deux droites. — Soient deux droites c, c' de longueur donnée, situées dans un plan, et les projections obliques x,^y, z, x', y', z' de ces deux droites sur les axes d'un système de coordonnées obliques. Calculons l'aire wj du parallélogramme dont deux côtés contigus seraient égaux et parallèles aux projections obliques d, c\ des deux droites données sur le plan des xy, en appelant e, e' les angles que Taxe des x fait avec ci, c',, l'on a w, = (;,c;sin[e'--e),

f, sine :=,rsin (a:, /), c\sint' ^ y' ^\n{x,y],

c,c,ost^yco?.(x,y) -\-x, t'jCOSs' = j' cos (^,.r) + x'.

Si l'on porle les valeurs des sinus et des cosinus des angles s, e' tirées de ces quatre dernières équations dans la précédente, l'on obtient

<,i,=.sm(x,y][xy' —yx').

w, est égale à la projection oblique sur le plan des ar/-de l'aire il du parallélogramme dont deux côtés coniigus seront égaux et parallèles à c, cf . Les valeurs des projections w, w, de l'aire du même parallélogramme se déduisent de la formule précédente par la permutation rotaloire. Si l'on s égard à ces va-

CIIAPITIIK I. — NOUONS FKËLIUINAIRES. !)

leurs, la dernière Ibrmule du numéro précédeni fait connaUre la valeur de il', tandis que l'avanl-dernière formule du même numéro donne les angles que la perpendiculaire au plan de 12, c'est-à-dire au plan des deux droites, fait avec les normales aux plans coordonnés.

7, Jngle de deux droites. — Calculons d'abord cet angle fn fonction des projections obliques des longueurs de ces <lroiles sur les trois axes coordonnés. Si l'on remarque que l'on a

Q. — vc'sin(c, c'),

eu substituant cette valeur de Q. el les valeurs de ci, t.!,, oi,, trouvées dans le numéro précédent, dans la dernière formule du n° 5, on obtient la valeur de sin (c, v' ) en Ibnclion des rapports des projections obliques des deux droites c, c' à ces deux droites. Celte expression, qu'il est inutile de transcrire, s'obtient immédiatement.

Calculons, en second lieu, le cosinus de l'angle des deux droites en fonction de lignes trigonométriques. Les deux expressions que nous allons donner de ce cosinus sont d'une grande ulililé pour certaines transformations analytiques.

Soit une ligne OC égale à T. Formons le parallélipipède dont T est la diagonale, et dont les arêtes, suivant la direction des trois axes coordonnés, sont l, l, , ti. Concevons le système de coordonnées obliques formé par trois axes normaux aux plans coordonnés du système donné, et formons le parallélipipède oblique dont Test la diagonale el dont les arêtes «,«1, ih sont issus du point dans la direction des trois axes de ce second système. D'après cela, si l'on considère le premier parallélipipède, on aura, d'après le théorème IV, n" 5, ou, ce qui revient au même, en projetant orthogonalenient le périmètre du polygone 1 1, /,T successivement sur n. «,, «,,

(cos[«, = Tcos(T, h), i, cos(m, , i, ) = Tcos(T, h,). (î cos («,,/,) = T cos { T, H, ).

Or, si l'on projette orthogonalenient le périmètre du polygone 1 1, t,T sur une direction donnée N, on aura

Tcos(T, M}= (cos(N, ^ ;, cos(N, (,) -i- LcosiN, l>).

yGoosle

6 Lll'BE l. — PROPRIÉTÉS (lÉNÈRALES DES COURBES, EIC.

el, en subslituaiu les valeurs de t, /,, t-, lirées des équations précédentes, on aura

cos (T N ] = cos(T,«lcos(N ,0 ^ cos(ï, «,) cosjN, i.) ' cos(n, cos(ni, (,}

cos(T,ra,)cos(N .<,} COs(ns, /,)

Si l'on opère de la même manière sur le second parallélipipède, et qu'on projette orthogonale ment le périmètre du polygone fermé ww,n,T successivement sur ^ t,, ;,etsurN, on aura d'abord quatre équations analogues aux précédentes, et finalement

cos(i,n) cos(f,, n,)

cos(T, (,) cos(N, «0

laquelle se déduit aussi directement de la précédente.

Ces formules font connaître le cosinus de l'angle de deux droites en fonction des cosinus des angles que la première fait avec les trois axes coordonnés, el des cbsinus des angles que la seconde fait avec les trois arêtes du trièdre supplémentaire de celui qui est formé par les trois axes,

§ II. — 1)h la COURBIJllIi INCLINfili.

Nous nous proposons, dans ce paragraphe, d'étudier d'une manière générale la courbure inclinée des lignes quelconques et d'en déduire les propriétés qui les caractérisent.

8. Tangente. — Si l'on considère sur une courbe deux points A el A' infiniment voisins : leur dislance AA' est l'élément curviligne ds ou bien la différentielle de l'arc de cette courbe; la direction de cet élément est la direction de la tangente à ia courbe au point A. Soit cette courbe rapportée à des coordonnées reclilignes orthogonales; dx, dy, dz les projections de l'élémcm ds sur les trois axes, cl a., (3, y les angles

CKAPITRK I. — NOTIONS PItf,l.miflAlHKS.

r|uc ic dôplaceniciii ds l'ait avec ces axes; on a

(r) coscc

</,ï " '^ " ds ' es

Plan normal. — Le plan normal à la courbe au point A est ic plan qui, en ce point, est perpendiculaire à la tangente à la courbe. L'équation de ce plan dans le système reciiligne orthogonal s'obtient par cette considération, que, si l'on joint le point A, dont les coordonnées sont x, y, z, à un des points quelconques x' , y' , z' du plan, le cosinus de l'angle de cette longueur avec l'élément ds doit être nul, ce qui donne, le

signe \ s'étendant aux trois coordonnées,

9. Relations entre les variations angulaires d'une, sfi.i-ie de droites mobiles. — Le mouvement d'une droite dans l'espace, s'appuyant par un de ses points sur une courbe quelconque, donne naissance au mouvement d'une seconde et d'une troisième droites passant par ce point et satisfaisant à cette condition, que la seconde est perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de la droite donnée, tandis que la troisième est perpendiculaire au plan des deux autres. Or il existe entre les variations angulaires de ces droites mobiles des relations remarqualïles qui nous seront souvent utiles, et que nous ne pouvons nous empêcher d'exposer.

[a) Trièdre trireclangle dérivant du déplacement d'une droite. — Soit une droite dont un point déterminé parcourt une courbe donnée, la direction de cette droite variant d'après une loi aussi donnée. Marquons, a partir du point {fig. i), où la droite, dans une de ses positions, coupe la courbe, la direction positive de cette droite; supposons que du même point comme centre une sphère soit décrite d'un rayon égal à l'unité, el soit t le point où sa surface coupe la partie positive de la droite; soit l' l'extrémité du rayon de celte sphère parallèle à la direction positive de lu ligne infiniment voisine; l'arc de giand cercle qui va de l en t' est connu en grandeur cl eu direction. Menons du poini O un mvon Vr |iiirallè!c à