LIVRE 1. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES, ETC

celle direction; si du même point nous élevons un rajon Oit perpendiculaire au plan tOi', du côté où lemouvemenl deO( versOr est vu de gauche à droite par un speclateur placé sui-

vant la direction Oh, cette direction sera prise positivement. Les trois rayons positifs 0/, 0/-, On forment un trièdre iri- Teciangle : la considération de ce trièdre est d'une grande utilité.

(6) Trièdre trireclangle infiniment voisin. — Soit 0(" un rayon parallèle a une troisième position de la droite; les deux rayons infiniment voisins Oi', Ot" donnent naissance à un second trièdre trirectangle dont les arêtes sont Ot', Or', On'x ce irièdre est formé d'après la même loi que le précédent. Les trois arcs tt', nn', rr' jouissent des propriétés suivantes.

Les arcs tt', nn', formés par les positions infiniment voisines des rayons 0/, On, ont la même direction ou des directions opposées. En effet le point i' est éloigné d'un quadrant des points n, n', r'; d'ailleurs Or' est perpendiculaire sur On'; donc à la limite l'arc nn' sera parallèle au rayon Or' et par conséquent à Or. Mais Or est parallèle à l'arc II'; donc, etc. L'arc nn' sera pris positivement s'il a la même direction que 0/', et négativement s'il a une direction contraire.

Les trois arcs It', nn', rr' sont en grandeur les trois côtés d'un triangle rectangle dont tr' est i'hvpoténuse.

ClliriTRE I. — NOTIONS PIlÈLUIlNAlRliS. 9

Les trois points (, t', r sont situés sur un arc de grand cercle, les trois points «, »', r' sont aussi situés sur un arc de grand cercle qui coupe en / le premier orthogonalement; or, dans le triangle rectangle infiniment petit rr'i, on a l'arc ir' égal à l'arc nn.', puisque les points w, n'sont les pôles des deux grands cercles ri', f'i'qui forment entre eux un angle mesuré par l'arc ir' ; on a aussi l'arc ir égal à l'arc W par une raison semblable. On voit par là que si un trièdre trireciangle est formé d'après la loi précédente, dans une seconde position de ce trièdre, les déplacements angulaires infiniment petits des arêtes sont entre eux comme les trois côtés d'un triangle rectangle; on a donc

[c) Trièdre relatif aux déplacements de f^ r. — Construisons le trièdre trirectangle relatif aux deux positions infiniment voisines Or, Or'. Soit 0/ le rayon parallèle à l'arc rr' et 0/> le rayon perpendiculaire au plan Orr'. Les propriétés de ce irièdre sont les suivantes.

1° Les deux rayons Op, 0/ se trouvent dans le plan tOn. En effet, 0;> est l'inierseclion de deux grands cercles nOt, n'Ot' dont les points r, r' sont les pôles. D'une autre part, la direction rr' étant perpendiculaire au rayon Qr, le rayon 0/> parallèle à cette direction ne peut se trouver que dans le plan nOt perpendiculaire à Or.

2" L'angle que Op fait avec On a pour sinus le rapport de l'arc nn' à l'arc rr'. En effet les deux droites On, 0^ sont perpendiculaires, chacune à chacune des deux faces iVO, r'rO ; donc l'angle dièdre formé par ces deux faces est égal à l'angle planpOn; donc, etc. Il résulte de là que l'on a

,, , nn' ^ tt'

cos/)0/ = — -^-7) cosy>U« = — r*

3" Si l'on projette le périmètre du triangle irr' sur un rayon quelconque Ox, on aura {2) rr'cos {l,x)-h il'cos[t,x) + nn'cos{n,x) -- o.

4° Puisque Op est dans le plan kO/, on aura

(■os/>0.*'=; c-os;:'Ort cos«0-t + cos;>0/ cos/0^-,

10 LIVRE I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DKS GOURDES, ETt:.

(!l, en ayant égard au\ valeurs ci-dessus trouvées,

(3) ir' cospOx ^ II' cosnOx — nn' cas tOx.

5° Construisons le trièdre infiniment voisin dont les arêtes seront Or", 0/', Op'; l'angle pOp' est la différentielle de VangiepOt, puisque l'inclinaison du plan pOp' sur le plan lOp est infiniment petite; on a donc l'équation

(4) '/f arccos= -;-j j - pOp', à laquelle il faut joindre

pp' =it< -r/ .

De là résulte que les déplacements des arêtes du trièdre Orpl sont intimement liés aux déplacements des arêtes du trièdre Otm, de manière que l'on peut déterminer à chaque instant les premiers déplacements en fonction des seconds,

[d) Trièdre relatif au déplacement de On. — Le trièdre trirectangle déterminé par deux positions infiniment voisines du rayon On est tel, que la première arête étant On, là seconde sera Or' ou son prolongement, la troisième sera Ol' ou son prolongement; de là résulte que les déplacements des arêtes seront les mêmes que ceux des arêtes du trièdre déterminé par deux positions infiniment voisines de 0(, que nous avons considéré le premier. Ces deux trièdres sont donc conjugués entre eux par cette loi, que le déplacement de la première arête de l'un égale le déplacement de la troisième arête de l'autre, et que les déplacements de leurs deuxièmes arêtes sont les mêmes.

10. De la courbure inclinée. — Considérons toujours la droite assujettie à s'appuyer sur la courbe et se mouvant d'après une loi donnée. L'angle que forment entre elles les deux positions infiniment voisines de cette droite sera appelé angle de contingence inclinée; soit 3 cet angle ; prenons les deux positions infiniment voisines de la droite, correspondantes aux deux extrémités A, A' de l'élément ds de la courbe; si du point A comme centre, avec un rayon infiniment petit, on décrit lin arc de cercle cnirc h première pnsilion ilc la droilc l'I

CUAl'ITRK T. — NOTIONS PBÉLlBINAinliS. I I

la parallèle à la position infiniment voisine de la droile, le rapport de l'angle de ces deux droites à l'élémeni ds sera appelé courbure inclinée de la courbe au point A; l'inverse de ce rapport sora le rayon de courbure inclinée; la direction de l'arc de cercle compris entre les deux droites est la direction du rayon de courbure inclinée ; le centre de courbure inclinée s'obtient en mesurant dans cette direction, à partirdupoint A, une longueur égale au rayon de coui'bure inclinée; enfin le plan mené par le point A parallèlement aux deux positions infiniment voisines de la droite, ou, ce qui est la même chose, le plan de l'angle 3 est le plan de courbure inclinée.

Expression de la courbure inclinée. — Représentons par J^ le rayon de courbure inclinée au point A de la courbe, par ^, p, V les angles formés par ce rayon avec les trois axes coordonnés, et soit ds la longueur du rayon de l'arc de cercle décrit du point A comme centre ; les trois côtés du triangle infinitésimal isocèle qu'on vient de former font, avec l'axe des ce, des angles dont les cosinus sont: cosX, — cos> — rfcos>, cos(.Ç,a7); or si l'on projette le périmètre de ce triangle sur l'axe des x, la somme des projections devant être nulle, on obtient

qui sert de type aux trois équations fournies chacune par l'un des axes coordonnés. En élevant au carré ces équations et formant la somme \ -, l'on obtient

Ces équations donnent la grandeur et la direction du rayon de courbure inclinée.

11, Plan de courbure inclinée. — Pour déterminer ce plan, il suffit de connaître les angles que la normale n à ce plan fait avec les trois axes coordonnés. Or, si l'on considère l'aire du triangle infinitésimal précédemment défini, elle a pour expression -(/*■ 3. Or les projections des deu\ côtés de ce ti'ian^ic

!?■ LiVRi; [. — l'HOFRIËÏËS GÉNÉIIALES BliS COURBliS, ETC.

sur les trois axes sont connues; elles sont pour l'axe des x, dscosï, (/j{cosX -+-rfcosX},. .-.; si l'on applique à ce triangle les formules du n" fi, dans le cas où les axes deviennent rectangulaires, on obtient trois formules qui sont contenues dans le type suivant :

(6) 3cos(n, 3) = cosÂ(/cysp— cosu.i/cosX,

lesquelles étant élevées au cari'é et ajoutées membre à membre donnent

(6') '*'~ / (COsXl/cOSjU— C0S)^(/C0S>)'.

Ces équations font connaître les angles que le plan de courbure inclinée fait avec les trois plans coordonnés, et donnent une nouvelle expression de l'angle de contingence oblique et par suite de la courbure inclinée.

12. Angle dejlexion invlinée. — L'angle de deux plans de courbure inclinée, infiniment voisins, sera appelé angle de flexion inclinée. Par le point A, menons une perpendiculaire au plan de courbure inclinée et une parallèle à la perpendiculaire au plan de courbure inclinée infiniment voisin. Si du point A comme centre, avec un rayon égal à ds, on décrit un arc de cercle entre ces deux lignes, on aura un triangle tel, que l'angle en A sera l'angle de flexion inclinée G; le rapport de cet angle à l'élément ds sera la seconde courbure inclinée; l'inverse de ce rapport, le rayon de seconde courbure inclinée Q; la direction de l'arc de cercle compris entre les deux côtés de l'angle G sera la direction du rayon de seconde courbure inclinée ; le plan de cet angle sera le plan de seconde coubure inclinée. D'après cela, en raisonnant comme au n" 10 et en représentant par X, Y, Z les seconds membres des équations contenues dans le type (5), suivant que ces équations se rapportent aux axes des x, y, z, on aura les deux formules

La première est un type qui renferme trois oquulions reta-

IJH^PITltl! I. — NOTIONS l'KËLlMlNAIRES. l3

lives, chacune à l'un des trois axes coordonnés; le signe \

de la seconde se rapporle aux seconds membres des trois équations précédentes.

De même, en opérant comme on a fait au n" Il et en appelant N la normale au plan de seconde courbure inclinée, on obtiendra

{8) C,cos{^,z) = X.^j^{^C-^^j^i^V>

laquelle est un type contenant les trois équations qui se rapportent aux axes des ^, f, z. Si l'on élève au carré ces trois

équations et qu'on fasse la somme \ des seconds memlîres, l'on aura

Remarquons que la perpendiculaire N au plan de seconde courbure inclinée est parallèle à l'inteiKeciion de deux plans de courbure inclinée infiniment voisins, et par conséquent à la direction de la droite mobile; de là résulte que cos(N, z) égale cosK. On a donc, en développant le second membre de l'avani-dernière formule,

Gcosv = Ci^<l^ — ^d^-)' si l'on remplace dsz et d^ par leur valeurs, on obtient

qui est une nouvelle expression de la seconde courbure inclinée.

13. Courbure propre de la courbe. — Généralement la droite mobile décrira une surface réglée gauche; cette surface serait développable si deux positions successives quelconques se rencontraient. Examinons le cas particulier où la droite mobile serait la tangente à la courbe. L'angle de deux positions îniiniment voisines de la tangente donne Vangle de contingence propre de la courbe; le rapport de cei angle à l'élé-

l4 LIÏHE I. ■ — l'ROrBIÉTÉS GÈNÉBàLES des OOUIIItËS, ETC.

nieni ds esi ia courbure propre de la courbe; l'inverse iii; ce rappovlesi le rafon de courbure ,-l'2irc Ae cercle infiniment petit compris entre les deux côtés de l'angle donne la direction de ce rayon, et, si à partir du point A l'on prend dans cette direction une longueur égale au rayon de courbure, l'extrémité sera le centre de courbure. Si dans les formules du n" 10 on remplace les cosinus des angles X, (x, v par les rapports des différentielles dx, dy, dz à l'élément ds, les expressions qui en résulteront feront connaître le rayon de courbure propre et sa direction.

Ik. Plan osfulateur. — On appelle ainsi le plan qui passe par trois points de la courbe infiniment voisins. Ce plan est le même que le plan de deux tangentes infiniment voisines; il ne diffère donc pas du plan de courbure propre. L'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins est l'angle de flexion propre de la courbe; le rapport de cet angle à l'élément ds est la seconde courbure propre de la courbe. On obtiendra le plan osculaleur, et tous les éléments relatifs à la seconde courbure, en remplaçant, dans les formules du n" 11 et du n" 12, les coda; dy dz "' "^ ds' ds' ds

sinus des a

iS. Cercle osculaleur. — C'est le cercle qui passe par trois points de la courbe infiniment voisins. Soient trois points consécutifs A, A', A" de la courbe; par ces trois points faisons passer un cercle ; soit R' son rayon, menons le diamètre A'P, et joignons DA, DA"; soit A 9 le supplément de l'angle A A' A"; cet angle est égal à ADA", donc l'arc AA' A" est égal à aR' AS; or, lorsqu'on passe a la limite, l'arc A A' A" devient 2 6?i, R' devient le rayon R du cercle osculateur et l'angle Ad devient d9 angle de contingence. Mais, d'après ce qui précède, le rayon de courbure coïncide en direction avec la normale située dans le plan de courbure ; à la limite, le diamètre A'D coïncide avec cette normale; d'ailleurs le rayon R du cercle osculaleur a pour expression le rapport de ds à d9 d'après ce qui vient d'être dit; donc le rayon du cercle osculaleur coïncide en grandeur et en direction avec le rayon de courbure.

16. Mouvement du plan normal. — A chaque position de la tangente correspond une position du plan normal; le lieu

CB.ir-ITBE ]. ■— NOTIONS PBÉLIUlNAlllES. l5

de ces posiiions est une surface développable dont la généra-

irice rectiligne esi l'inierseciion de deux plans n nimenl voisins. Celle inierseclion est perpendiculaire au plan osculaieur. En effet, ce plan passe par deux langenles infiniment voisines, donc il est perpendiculaire aux deux plans normaux correspondants , ei, par suite, à leur interseclion, laquelle, d'après le numéro précédent, rencontre le plan osculateur au centre de courbure de la courbe. Le lieu des intersections successives des génératrices esi appelé arête de rebroussement. Cette courbe jouil de cette propriété, que son angle de contingence et son angle de flexion sont égaux, le premier, a l'angle de flexion, cl le second, à l'angle de contingence de la courbe proposée. En effet, deux tangentes successives de cetie dernière courbe font le même angle que les plans normaux correspondants, qui sont les plans osculateurs de l'arête de rebroussement ; et deux tangentes successives de l'arête étant deux génératrices reciilignes de la surface développable, sont, d'après ce qui précède, perpendiculaires aux plans osculateurs correspondants de la courbe proposée ; donc elles forment entre elles le même angle que ces plans. Ce théorème est dû à Fourier.

Extension de la méthode précédente. — Pour obtenir une connaissance plus approfondie de la naUire de la courbe, il faudra :

1° Examiner le mouvement de la normale située dans le plan osculateur qu'on appelle normale principale, parce qu'elle coïncide en direction avec le rayon de courbure. Pour cela, il suffira de faire coïncider la droite mobile que l'on a considérée d'une manière générale avec la normale principale. Cette normale engendrera une surface réglée gauche, le plan perpendiculaire à la normale principale, appelé plan redisant, engendrera une surface développable, surface rectifiante.

1" Examiner le mouvement de la droite perpendiculaire au plan osculateur, menée par un point de la courbe ; cette droite est appelée binormale de la courbe; elle engendrera une surface réglée gauche, tandis.que le plan perpendiculaire à cette droite enveloppera une surface développable dont la courbe sera l'arfite de l'ebroussement.

l6 IIVUE 1. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES (

Il esi facile de reconnaître que les formules générales esposées dans les n"' 10, il, 12 appliquées à ces deux cas partifuiiers feroiil connaUre le mouvement de ces deux droites, el donneront les éléments des surfaces qui en résultent, ainsi que les relations intéressantes qui existent entre ces éléments,

17. Des composantes de la courbure inclinée. -— Soit une direction D donnée par les angles «', [3', y' qu'elle fait avec les trois axes x, y, z, proposons-nous de chercher les composantes, d'après la règle du parallélogramme des forces, de la

courbure inclinée —■, suivant celte direction, et suivant la direction perpendiculaire, située dans le plan de D et de i^. Si l'on remarque que les trois droites D, J^, et la direction D' perpendiculaire à D, située dans le plan des droites J^, D, issues du point A pris sur la courbe, forment avec un des trois axes, Ox pf" exemple, deux trièdres : le premier, dont les arêtes sont Of, OD, J^, donne

cos[Or) = <^os(t,I>)co3(D,j) + sin(j;,D)sin(D,7)cosOT); le second, dont les arêtes sont 0/, OD', OD, donne

COS(D', j)=sin(D, y) cosOD.

De là résulte que l'on a

cos(-!^,r)~cos(^, D)C05[3'+ ?.m{ii, D)cos(D',j).

D'après cela, l'on aura pour les composantes de -- suivimt I) elD',

cos(^.D) V . <f •.

j,0 £g^lt^)^y ^'°'^ ^coifr D).os.' Ucosî.

* ' .il ZiLsint<^,D) <-"'lL-'-')''Liso^j^^^tosA,

dans lesquelles le signeX s'étend aux trois axes.