Des composanles normale et tangentielle Je la cour

•ItÉLIMlNAtHES. l'J

bur^- inclinée. — Soîl une surface sur lafjuelle la courbe est située, il est utile de corinallre la composante de ia courbure inclinée, suivant la normale et suivant le plan tangent. Représentons l'équation de celle surface rapportée à des coordonnées rectangles par

dans laquelle c est une constante; si l'on prend sur la surlace un point infiniment voisin de celui que l'on considère, l'équation de la surface sera satisfaite par les coordonnées du premier point ar, /, a, et par les coordonnées du second x -4- dx, y-i- dy, z -i- dz. On aura donc

ss---

Or, si l'on délinit avec Gauss le plan tangent à la surface en un point, le plan dont s'éloignent infiniment peu les poinis de la surface infiniment voisins de celui que l'on considère, de sorte que la distance d'un de ces points au plan est infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, il résulte de cette définition que la droite perpendiculaire au plan au point que l'on considère est normale à tout déplacement ds infiniment petit effectué sur la surface à partir de ce point; donc, M étant la direction de la normale, on aura

(i3) y rfa;cOS(«,rf:F) = o,

Cette équation et la précédente devant avoir lieu quelle que soit la direction de ds, et, conséquemment, de ses projections dx, dy, dz, il en résulte que les cosinus des angles de la normale avec les axes des x, y, z doivent être proportionnels aux dérivées de F par rapport à x,y, z; donc si l'on pose, pour abréger,

ldV\

l'on a

I dV [31.

(r4) cos(n,d.)=j^-^-

l'es cosinus ont double signe, parce que à partir du poin

iB LIVUK T. — l'IiOPRl ÉTftS GÉNÉBM.ES DES ROURBKS, ETC.

[iris sur ia surface, on peut se déplacer normolemenl à ccue surface dans deux directions opposées qui caractérisent la normale extérieure et !a normale intérieure. Lorsque les coordonnées de l'exlrémilé du déplacemenl portées dans l'équation F(x, y, z) ~ c = o, donnent un résultat positif, le déplacement a lieu suivant la normale extérieure. C'est l'inverse lorsque le résultai est négatif. On choisit pour sens positif de la normale, celui de la normale extérieure.

Dans ce numéro comme dans les précédents, le signe \ s'étend aux valeurs que prend la quantité placée sous ce signe pour les différents axes coordonnés. Nous adopterons celte noiaiion dans la suite de nos récherches. La dernière équation est un type qui renferme les équations qui en résultent, quand on fait subir aux variables ar, j, 3 les permutations rotatoires, et nous placerons itn chiffre à droite entre crochets [ ] pour indiquer le nombre des équations résultant de ces permutations.

Si maintenant on remplace dans les deux dernières équations du numéro précédent, les cosinus de a', |3', y' par les valeurs de cosinus des angles [n, dx), {«, dy), («, dz) que nous venons de trouver, on aura les composantes normale ci langenlielle de la courbure inclinée — ■

19. Relations générales entre les angles des arêtes ot, on, or de la figure sphêrique et une. direction fixe. — Nous serons quelquefois obligé de considérer plusieurs séries de droites se déduisant, dans chaque série, d'une droite principale, de la même manière que, dans la ligure sphêrique du n" 9, les rajons on, or, o/, o/>,... se déduisent du rayonoi; il convient donc d'exprimer généialement les angles que les droites d'une série quelconque fontavec une direction fixe. En raisonnant comme on l'a fait ans n"' 10 et 11, on a

itl'cos(r, x) = dcos(t,x), tt' cos{n, x)^ cos(t, z]d cos{f,f]~- co5(l, r)dcQS{t, s), nn'cos[r, x)t=:dcos{n, x).

Ueprésentons, pour abréger, les angles (/, ('), (/■, '•'), ("■, "')

€lI.iriTLlIi [. ~ NUTIONS ?KÉI.I)IINAIHF.S. 19

par ds, ih, )Im; l'angle que op faii avec ol par 6, et par conséquent l'angle (p, /Jparrfâ (4), enlin l'angle (/,/'] par (/■); : il résulte des formules précédentes que l'on peut exprimer les cosinus des angles que la droite ot fait avec une direction et les dérivées successives des mêmes cosinus, en fonction des rapports de ds et t/w à ds et des angles que les trois arêtes on, ot, or du trièdre trireclangle font avec la même direction. En effet, l'on a

COS'C, ^)+ COS={n, *■)+ COS'(c, ^)= [.

Si l'on différentie celte équation et qu'on ait égard aux équations précédentes, on trouve

ds ds

Cela posé, si l'on différentie la première des équations (i5), on trouve, en ayant égard à la précédente,

\ds\-~-dr-^\=^Ts[d;''>'^''^^+-d-s'''^'''^U

\ ^ds\ds)

Or, en différentiant cette dernière, on introduira les dérivées des cosinus des angles (i,a^), {n,x), {r.x), lesquelles, d'après les équations précédentes, sont connues en fonction des

cosinus des mêmes angles et des rapports t-i -t-* Donc la

dérivée troisième de cos( ', :tr) sera exprimée en fonction des mêmes rapports et des mêmes cosinus.

La même propriété existera pour les dérivées des cosinus des angles que on et or font avec trois directions déterminées.

■ PROPRIÉTÉS r.ÉN^RALKS DES (