DES COORDONNÉES TRACÉES SUR UNE SURFACE
20. Coordonnées d'un point. — Soit une surface rapportée ■à trois axes rectangulaires x, y, z, et dont l'équation est F = o. Si l'on joint à cette équation l'équation d'une seconde surface f{x, y, z) = p, p étant un paramètre variable, leur ensemble représente une courbe tracée sur la surface F; si l'on donne au paramètre p toutes les valeurs possibles, l'on aura une série de courbes situées sur la surface. Nous représentons par (p) cette série de courbes. Si l'on se donne une seconde série (pi ) de courbes, provenant de l'ensemble des intersections de F avec une surface/ [x, j-, z) = p,, quand on donne à p, toutes les valeurs possibles, un point quelconque de la surface F sera déterminé par l'intersection de deux courbes que l'on obtient en donnant aux paramètres p, pi des valeurs convenables.
Les deux familles de courbes (p), (pi) forment un système de courbes dites coordonnées. Généralement l'angle que forment entre elles deux courbes de ces deux familles en se coupant n'est ni droit, ni constant : il varie avec la position du point, c'est-à-dire avec les valeurs de p, pi.
Problème des coordonnées curvilignes. — Soit un point mobile, assujetti à parcourir une courbe quelconque située sur la surface F; si l'on étudie les diverses positions de ce point au moyen d'un système quelconque de coordonnées tracées sur la surface, les déplacements de ce point ont des liaisons nécessaires avec les déplacements correspondants des coordonnées de ce point ; il en résulte des relations entre les tangentes, les courbures de la courbe, et les tangentes et courbures des lignes coordonnées. Ces relations, au point de vue géométrique, sont des tiiéorèmes remarquables entre les divf^rs éléments de la trajectoire décrite et les éléments des
CHAl'ITRE ir. — DES COORDONNÉES TRACÉES SU« UNE SURFACE. 31
courbes coordonnées; au point de vue analytique, elles fournissent un moyen facile de passer d'un système de coordonnées à un autre, et aussi de résoudre la question qu'on se propose dans le système le mieux adapté à celte question.
21 . Tangentes aux lignes coordonnées, paramètres différentiels. — Les équations des deux lignes coordonnées sont
Si, des équations F, /,/■„ on lire les expressions de x, y, z en fonction de p et de p,, et que, dans ces expressions, on suppose que, p, restant constant, p prenne toutes les valeurs possibles, l'on aura les coordonnées rectangles rectilignes de la courbe d'intersection de p, avec F. Soit n l'are de cette courbe ; les coordonnées {fig.i) du point li infinimenl voisin du
point A s'obiiendront en donnant, dans ces expressions, à p l'accroissemenl <yp; l'élément da sera donc donné par la formule
( dx'' dy' dz''\
\dp'' 'dp' dp'}
elles angles que cet élément fait avec les trois axes des jt,^-, a
seront
COS(;t, (/(7)^-7— 5 cosfr, «O-Irrr^ -~i cos ( S, dc)^ -^ —
^ ' dQ ^■' ' drj ' ' Û'7
Pour abréger, nous poserons la somme des carrés des déri-
33 LIVRE I. — PROPRIÉTÉS (iÉNÉHALES DBS COUllBUS, ETC.
vées de x, y, z par rapport à p égale au carré de K , que nous appellerons, suivant l'usage, paramètre différentiel du premier ordre de la courbe a. Nous représenier<ins quelquefois les variations par rapport à p, p, par les sjmboJes d,, </,, ou bien par d^, d^^, à moins que le sens des variations ne soit déterminé par le dénominateur. La lettre (/ indiquera la variation complète par rapport à p et à p,.
Si l'on appelle (r, l'arc d'intersection des deux surfaces F et p, on trouvera pour celte intersection des quantités analogues aux précédentes. Nous les représenterons par les mêmes lettres affectées de l'indice i ; d'après cela on aura
(2j do = ndp, d7,^---n,dp,.
Angle des lignes coordonnées. — Soil <f ecl anfjle, ou a indistinctement
v^ dx dx „„ V' d„x I,
22. De la courbure propre et de la courbure inclinée des lignes coordonnées. ~ Soit un point A de la courbe s, nous-
représenions par — la courbure propre de cette courbe en ce
point. Si l'on considère la suite des tangentes aux H{>nes coordonnées de l'autre série au point où elles coupent la
courbe <7, nous représentons par — la courbure inclinée de la
ligne 17 suivant la direction de ces tangentes, par- 3^, 3 les angles de contingence propre et de contingence inclinée de la même courbe.
Nous avertissons, une fois pour toutes-, que si une lettre représente un élément appartenant à la courbe ff, la même lettre affectée' de l'indice i représente le même élément appartenant à la courbe a.,. Lorsqu'une relation existera pour une ligne coordonnée, il existera ime équationsemblablepour 1,'autre ligne coordonnée; celte équation se déduira de la première par la permutation, des paramètres p, p,. Nous n'écrirons, qu'une seule équation; mais nous écrirons à droite de celte équation, considérée comme type, un chiffre entre parenthèses ( ) indiquant le nombre d'équations contenues dans le
CIlÀl'ITnR 11. — DES COORDONNÉES TRACÉES SUB UNE SUnFACl!. 23
lype. Si l'on rapproche celte noialion de celle qui a été annoncée au 11° 18, relative au nombre d'équations conienues dans un type, lesquelles provienneni de la permutation des variables x, y, z, on aura ie sens des signes ( ), [ ] placés à droite d'une équation.
Cela posé, on a, d'après ce qui a été établi au n" 10,
cos(^, x) d i dx\
 = di \l^}
cos(^, x] ^ d I dx\
lesquelles font connaître la grandeur et la direction des rayons de courbure propre ou inclinée des lignes coordonnées.
23. Des composantes obliques de là courbure d'une ligne coordonnée. — Considérons les deux séries de surfaces f(x,y, s)=:p, f,{x, r, z) — pi coupant la surface F suivant le réseau des lignes coordonnées. Soient AB, BC deuK éléments successifs d'une courbe coordonnée a,; par le preniier élément faisons passer deux plans tangents T, T" aux surfaces/, F, et par le second élément deux plans tangents S, S"aux mêmes surfaces. Ces quatre plans tangents (^g-. 3) forment un angle
solide quaiirangulaire dont le sommet est en B, dont les arêtes opposées sont, d'une part, le prolongement de AB et l'élément BC, et, d'une autre part, BD; intersection des plans T, S", et BD inlerseciion des pians T", S. L'angle CBE est l'angle df contingences",. Si l'on appelle i'.i, les angles que l'éiémeniAlt prolongé fait avec les intersections BD, BD,, on aura la proposition suivante :
THËORËHii. ~ Lfs ungle.s /'" , j'i se composent avec l'angle de contingence S", de la courbe de; il'uprès la règle du paraltélo-
^4 LITRE 1. — l'KOl'BlÈÎÈS CÉNÉKAI.ES DES COl'RBES, ETC.
En cflel, si l'on considère le iriètlre dont les arêtes soni BE, BC, BD, on a, en négligeant les infinimenl pelils du troisième ordre, et en représentant par n, »,, n, les normales aux surfaces/,/;, F, les relations suivantes :
il /, . = ^' .
cos(7i, A, ) '" cos(m3, JLi) sin<i>
11 est facile de voir que l'angle ;', est l'angle de contingence de la courbe que le plan tangent s, la surface p intercepte sur la surface F, et que i' est l'angle de contingence de la courbe que le plan langent a la surface F intercepte sur p.
Corollaire. — Si les surfaces p, F se coupent orthogonalemeni, l'angle (', est l'angle de contingence de la section normale à la surface F faite suivant l'élément drj, , ou bien encore l'angle de contingence de la projection de la courbe cr, sur le plan tangent à la surface p, c'est-à-dire l'angle que M. Liouville appelle angle de contingence j^ê.odésique de la courbe 7, par rapport à la surface p. Pour éviter une confusion qui ne manquerait pas de se produire dans nos recherches, nous l'appellerons angle de contingence tangentielle de la courbe o-i par rapport à la surface p. L'angle i° donne naissance à des observations analogues par rapport aux surfaces p et F. On déduit de là :
I" Si une courbe est située sur une surface, la projection de l'angle de contingence de cette courbe sur le plan normal à la surface mené par l'élément de la courbe est l'angle de contingence de la section normale faite sur la surface suivant cet élément : c'est la composante normale de l'angle de contingence de la courbe en question, ou simplement l'angle de contingence normale.
2° Si une courbe est située sur une surface, la projection de l'angle de contingence de cette courbe sur le plan tangent à la surface mené par l'élément de la courbe est l'angle de contingence de la projection de la courbe sur le plan langent : c'est la composante tangentielle de l'angle de contingence de la courbe proposée par rapport à la surface.
3" Si le plan osculateur de la courbe est normal à la surface.
CIIAl'lTBE II. — DES COORDONNÉES TBACÉES SUR UNE SURFACE. ?,5
la composante tangentielle de l'angle de contingence est nulle. La courbe jouissant de cette propriété qu'en un point quelconque son plan osculateur est normal à la surface sur laquelle cette courbe est située est dite ligne géodéslque de la surface; elle est donc caractérisée par celte condition qu'en tous ses points la composante tangentielle de son angle de contingence est nulle.
4" Si l'on divise les équations précédentes, les premières par da, et la seconde par rfaî, on voit que les théorèmes que nous venons de démontrer existent pour les courbures.
Remarque. — Les composantes, normale ou tangentielle, de la courbure d'une ligne située sur une surface n'ont pas seulement un sens analytique, mais elles ont une réalité géométrique, ce qui permet de saisir la signification des relations relatives à ces composantes.
24. Des composantes obliques de la courbure inclinée d'une ligne coordonnée. — Par l'une des extrémités de l'arc da, menons une tangente à l'arc du et une parallèle à l'arc élémentaire de la série (a) qui passe par l'autre extrémité. Ces deux droites AM, AN [Jtg. 3') déterminent l'angle de contin-
gence inclinée A, de l'arc du, suivant du. Or, si par la première on mène deux plans P", P' tangents aux surfaces F et p, , et que par la seconde on mène deux plans Q"et Q' tangents aux mêmes surfaces, ces quatre plans forment un angle solide quadrangulaire dont le sommet est en A ei dont les arêtes opposées sont, d'une part, AM, AN, et, d'une autre part, AL intersection du plan 1'" el du plan Q', et M., Intersection
a6 LIVKK I. — l'ROl'UlÉTÉS GftKÉRALES BES COURBES, ETC.
des plans Q"el P'. Si l'on appelle j° l'angle que l'élémem AM fail avec AL, ei j', l'angle que l'élément AM fait avec AL,, on y, comme précédemmeni,
iL = ./: i^,
cos(«,,^,) cos[n,,^,) sintp 3f=J''°'-*- ,/!'-'- V'î/i ^^osf.
Théorèhiss. — Les angles j", , j', se composent avec l'angle d, de contingence oblique de la courbe a, d'après la règle du parallélogramme des forces.
Si les deux surfaces F el p, sont orthogonales, l'angle j° devient la projection orthogonale de l'angle 3, sur le plan tangent à la surface F, c'est-à-dire la composante langentielle de l'angle de contingence inclinée de la courbe d<7, par rapport à la surface F, et l'angle f, devient la projection orthogonale de l'angle S, sur le plan normal à ta surface F, c'est-àdire la composante normale de l'angle de contingence inclinée de la courbe da,.
Ces théorèmes existent évidemment quand on passe des angles "de contingence inclinée aux courbures correspondantes. Iliî donnent la signification géométrique des courbures inclinées, de leurs composantes orthogonales, de leurs composantes obliques suivant tes plans tangents aux surfaces qui détermineiil par leurs intersections la direction de l'élément par rapport auquel est prise la courbure inclinée de la ligne coordonnée.
25, Composantes des courbures suivant tes lignes cooi
nées. — Nous représenterons par —! -; -j-i -r les composantes
tangentielle et normale des courbures—, —i propre ou inclinée,
de la courbe da; les composantes de la courbure -^rifig-^)
suivant da et t/o-,, d'après la règle du parallélogramme des
forces, sont : -■, -rr~, — : les composantes de la courbure
K Hsinç' ^
. ,. , 1 COtQ) I
inclinée — suivant les mêmes directions sont:- — ; — i t- --. — • ^, L, LiSincp
CIIAL'LTKE II, — DES COOQUON^ÉKS TRAGËKS SUR UNE SURFACK. 27
Nous représenterons par ï, (' les projections de l'angle de contingence ? sur !c plan langent et sur le plan normal à
lii suri'ace F: par J,, j, les projections de l'angle de contingence inclinée 3, sur le plan tangent cl sur le plan normal. D'après cela, —Icota, -r— ? — J,coi», — '— seront siii<p ^ snii^
les angles de contingence correspondant aux composantes des
21), Fariation du t'a
gle des lignes coordonnées ' dx dx
__^ dx dx
si l'on prend la variation par rapport à p, on aura
■ ^ - V r ^'^ ldx\ dx d l dx \dx'^da sm-p ^ ^2^ 1^-^ ^^^j ^ -!- ^ ^^— j ^J — -
Or, si l'on a égard aux relations du n" 21, on pourra écrire cos(^.
~ sin <p
^Sfê
al
dx cos(41..^)l dfj du J^ J rfp
Si l'on remarque que la somme des termes qui renferment !o courbure — comme facteur exprime la composante de la courbure suivant l'arc da,, ei que la somme des termes qui renferment la courbure -7 comme facteur exprime la compo- .saiite de cette courbure suivant l'arc i/r, on a
20 LlïllE 1. — PHOPHlÉlÉa eËNËRALES DES (JOL
On déduit des deux équations renfermées dans le type précédent la relation suivante:
{ 6 ) ~ i/o rf, 9 — (/, I -f- rf, J :;= (/J, + rf. J, .
Ces deux dernières équations donnent naissance auY deux ihéorèmes suivants ;
I. La variation de l'angle des lignes coordonnées par rapport au paramètre d'une courbe est la somme des projections tangentielles de l'angle de contingence propre et de l'angle de contingence inclinée de l'autre courbe coordonnée,
II. La somme des variations des deux projections tangentielles des deux angles de contingence propre et de contingence inclinée d'une courbe par rapport à son paramètre est égale à la variation seconde de l'angle des lignes coordonnées par rapport aux deux paramètres de ces courbes.
La formule (5] peut s'écrire sous la forme
L' Vi. da '■
Elle est remarquable en ce qu'elle donne la composante tangentielle de la courbure inclinée d'une ligne drr suivant l'autre ligne dfji égale à la somme de la composante tangenlielle de la courbure propre de la ligne rfo- et du rapport différentiel de l'angle des lignes coordonnées à l'arc de la courbe : or le premier élément est indépendant de tout système coordonné, et le second ne dépend que de la variation de l'angle. Nous verrons que la composante normale de cette courbure inclinée n'a pas une composition moins remarquable.
27. Démonstration géométrique des formules précédentes. — Si aux extrémités de l'arc drr, l'on mène des tangentes aux
( *) Cette Tormule n été donnée par nous dans notre premier Mémoire sur les coordonnées curvilignes, présenté a l'Académie des Sciences da Paris, aïril iSSg {Comptes rendus, t. XLVIH), et publié dans le Jownal de Crelle, même année, t. LVIII, p. 365. Elle a été aussi donnée dans notre second Mémoire sur les coordonnées eurvilignee quelconques, présenté à la même Académie en 18S3 {Complet rendus, t. L) et publie dans le Jmu-nnUe M. Tonolim, l. Vl, p. fs. formule (./,).
yGoosle
