CHAPITRE 11. — BËS COORDONNÉRS TUACÉES SUR

courbes coordonnées, ei qu'on projette la figure sur le pian langent à la surface F en l'une des extrémités de cet axe, les projections des quatre tangentes formeront un quadrilatère; l'angle fies projections des tangentes à la courbe dT est la projection tangentieile 1 de l'angle de contingence de la courbe d/r, et l'angle des deux autres tangentes est l'angle J, projection tangentieile de l'angle de contingence inclinée de la courbe rfo". Cela posé, les angles de ce quadrilatère sont : (71 — If ), 7t-i- I, 9 -Hrf.ip, J- La somme des angles de ce quadrilatère égalant quatre angles droits, l'on a

D'une autre part, appelons z la distance comptée sur la tangente à l'élément du, entre le point de contact et le point où elle est coupée par la projection de la tangente à la courbe infiniment voisine de la même série. Si, de ce point comme centre, avec un rayon égal à z, on décrit entre deux droites un arc de cercle, cet ai-c de cercle sera t/o-sincp; on aura donc

TJ = </o-,sin9;

par suite, la formule précédenie devient

En comparant cette formule à celle du numéro précédent, on conclut que t ^^ L, ce qui donne le moyen de construire la composante tangentieile de la courbure inclinée.

28. Relations entre les composantes des courbures des lignes coordonnées. — Représentons par X, Xi, Xi les cosinusdes angles que les éléments d(j, dij, des courbes coordonnées et la direction de la normale à la^ surface F font avec l'axe des x, l'on a

d.x7=Xd>7, d,x = X,dG,;

or, si l'on différentie la première expression par rapport a a„ l'on obtiendra

d,d,Xr.^Xd,d7+d^d,\.

yGoosle

Si l'on remarque que

d,X~ -.— -r- ■ rfo-, = ■ f= -^— a

l'axe des x par la somme des projeclions sur cet axe des com- |iosantes de cette courbure suivant rfs-, da„ et la normale à la surface F, a" 25, l'on aura

Ces deux expressions devant être identiques quels que soient X, Xi, Xî, l'on trouve, par l'identification des deux derniers termes,

Théorème. — Les composantes normales de deux courbures inclinées, conjuguées de deux lignes coordonnées quelconques sur une surface, sont égales entre elles.

L'identification des deux premiers termes donne deux équations renfermées dans le tjpe suivant :

, , / ' cosca\ dadu, , , ,,,

^ ' \L, L / smcp ■- I ' '

Ces deux équations donnent les variations des arcs coordonnés suivant les paramètres réciproques en fonction des composantes tangentielles ties courbures inclinées. On peut les écrire sous le type suivant :

(8') sintprfprfiT, = J, (/o-4- J coscprfiT, (2).

ciiApimn il. — DKs 00 on BON NÉES TnACÉES sur une sukf.ice. 3i L'élimination de 9 onlre ces deux éqiialions conduit à l'équa-

( d, ds, y ~{d,dTy = P, da' ^r-d<7], que l'on peut écrire sous la forme suivante :

29. Variations des arcs coordonnés. — Les formules précédentes donnent les variations des arcs coordonnés; occupons-nous de la discussion de ces formules et de leurs conséquences.

Si l'angle 9 est constant, les formules du n° 27 prouvent que dans ce cas R et L sont égaux et de signes contraires; donc la formule du numéro précédent devient

• ' \li, K / suitp '

Si l'angle o est droii, l'on obtient l'équation de Gauss : (8-) Arfa, + ^^ = o (a).

Si la ligne coordonnée rf(7i est géodésiquc, -5- est nulle, et la formule précédente se réduit au seul terme

d, da, =:! O,

ce qui signifie que la variation de l'arc dTi étant nulle par rapport à p, l'élément du, sera le même pour toutes les valeurs de p. De là on déduit ce théorème de Gauss :

Les trajectoires orthogonales d'un système de lignes géodésiques interceptent sur ces lignes des longueurs constantes.

La réciproque de cette proposition est également vraie; car si les lignes d'un système, orthogonal d'un autre système, interceptent sur les courbes du second des longueurs constantes, les variations des arcs coordonnés de ce système sont nulles, d la seconde formule du présent numéro prouve

3ft LIVRE 1. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COUBUES, ETC.

que dans ce cas 5-1 courbure langeniielle des courbes du second système, est nulle; donc elles sont géodésiques.

Corollaire. — Si un fil appliqué sur la surface F se déroule en restant tangent à une courbe située sur la surface, un point du fil décrit une trajectoire orthogonale des posilions successives du fil, qui sont des lignes géodésiques de la surface.

30. Expression des courbures tangenlielles en fonction des variations des arcs coordonnés. — Les deux formules contenues dans le tjpe(8)dun''28forment un système dans lequel

les deux composantes y-) -p des courbures inclinées sont les

inconnues; la résolution de ces équations donne les valeurs de ces deux composantes :

(9) rf<7.-j-si

= (I, da