CHAPITRE ni

liELATlONS ENTRE LES VARIATIONS DES COURBURES DKS LIGNES COORDONNÉES.

34. Des variations des cosinus des angles que les arcs coordonnés font avec une direction fixe. — Soil ox la direction fixe dont i) s'agit. Les variations des cosinus des angles que les arcs coordonnés font avec celte direction peuvent être prises par rapport à l'un des deux paramètres p ou p,. Il résulte de ce qui a été établi au n^aS que la variation d'un cosinus X par rapport au paramètre p, , c'est-à-dire lorsqu'on passe d'une courbe à ta courbe infiniment voisine de la même série, est donnée par le type

,„ *x = </„(-î5iîx + j-4-^x,-.ix.) w [3!.

c- „ 1. dX eos(#l,3r) , , ... ^.„

Si 1 on remarque quel on a -— - = — — — - — -, formule (5), n''10,

et que l'on remplace dans le second membre la composante

de la courbure propre -^ suivant l'axe des x par la somme des

projections sur le même axe des composantes de cette courbure suivant les trois directions da, drr, et la normale à la surface F, on obtiendra la variation d'un cosinus X par rapport au paramètre p, c'est-à-dire lorsqu'on passe d'un point d'une ligne coordonnée rfo- au point infiniment voisin de la même ligne,

M <*.X = ..(-ÎHJïX-.-^X, + ix.) (,) [3].

33, Des variations des cosinus des angles que la normale à la surface fait a^ec l'axe des x. — D'après le théorcoio du n" B,

38 LIVRE I. — PROPRIËTËS GËNËHALES DES COUBBES, ETC.

qui donne la direction d'une perpendiculaire à deux droites données, on a

Qv, si l'on différeniie par rapport à p, on obtienl

^Il\ ■ d\, Z,dY — Y,dZ YdZ,-

" cfp ' " </p dp dp '

si l'on remplace dans le second membre les variations de V, Z, Y, , Zi par leurs valeurs tirées des formules du numéro précédent, et si, 'de plus, on a égard aux relations du n" 26, on obtient

. dX, coslR„a;) cos(R,37) ^ , -„s>n9-^ = 7 " : *^' ^^^■

Considérons les deux Irièdres formés, le premier par les trois directions ox, oR, du,, et le second par les trois directions ox, di7, da, , on obtient les deux équations, dans lesquelles V, représente le dièdre suivant do-, ,

COS(R, j;) = cos(a-, du,)s\nof -h sin[a:, drj,) coso cosV,, cosfar, d/7) = cos (■:(:, (fg-ilcosç — sin(a:, dcr,) sintp cosV,.

U élimina lion do V, enire ces deux équations donne le tjpe suivant :

sinfflC0s(R,a7) = X, — Xcosq; (a),

lequel fai.1 connaître les valeurs de cos(K, x], cos[R,, x). En ayant égard à ces deux valeurs, on obtienl définitivement

in\ ■ , ''^î /' cos^\„ (i eosffl\ - -,

laquelle donne les. variations des cosinus des angles que la normale à la surface fait avec les trois axes des ^, j, s, ces variations étant prises par rapport à l'un des deux paramètres coordonnés p, p,,

36. Des doubles, variations d'un cosinus X de l'une des deux lignes coordonnées, — La double varialion de X par rapport à p et p, peut s'obtenir de deux manières : ou bien en