CHAPITRE III. — RËLiTIONS ENTRE LES VABIAHOHS, ETC. 3g

prenant la variation par rapport à p de d^^ X, ou bien la variation par rapport à p, de d,\. Or les expressions de ces deux différentielles ont été calculées dans le numéro précédent. Si nous faisons le calcul de la première manière, nous introduisons dans le second membre de la variation de l'équation donnée par le type{i) les variations simples par rapporta p de X, Xi , Xj , et si nous éliminons ces variations au moyen des équations (a), nous obtenons la variation seconde exprimée linéairement par rapport à X, X, , X, .

Pour abréger, nous poserons

COSCf)

os y /j ^\ J /j^ cosy \

nous obtiendrons ainsi pour la variation ehcrcliéc l'expression <-/<7</(7, /x X, x,\

Si nous faisons le calcul de la seconde manière, en prenant la variation par rapport à p, de l'équation (2), et que nous posions

1 1 / I cos=<p \ 1 /i cosy X IN "" K ^K, 1„ ; r V'. '■■ /

T sincp / 1 cos9\

nous obtiendrons

rfo- </o-, ,' X

I sin'w \JN IN, N,/ '■ I y ^

,. , Ida \ ., , dtj ,- , diT ~\(l,i-r- <:oi<D -h\,d,-—. — +X,</, — ■

.jd lIVRh I. — PHDPHIÉrÉS UÈNÉHALES BES COUBBES, ETC.

Telles sont tes deux formes des doubles variations d'un cosinus X des courbes coordonnées par rapport à p et à p, .

37. Relations entre les variations des composantes des courbures propres ou inclinées des lignes coordonnées. — Si l'on remarque que les deux variations secondes trouvées dans le numéro précédent doivent être identiques quels que soient X, Xi, X,, Oïl obtiendra par l'identification de ces deux formules trois relations entre les variations des projections des angles de contingence propre ei inclinée des lignes coordonnées. Ces relations sont

/ (^,(Icot<p) — rf,(J,Colœ)

dada, r/ I I \ / . i\ 1

Les deux premières équations sont telles, que les seconds membres sont symétriques par rapport aux deux lignes coordonnées et à leurs courbures normale et tangentielle; donc les premiers membres ne changeront pas quand on permutera ces deux courbes. Mais il n'en est pas de même de la dernière, qui forme un type contenant deux équations. On obtiendrait les mêmes équations en prenant les doubles variations des cosinus Xi.

Les deux premières équations ne sont pas réellement distinctes l'une de l'autre. En effet, si l'on élimine entre elles le

binôme — — -jy on tombe sur une expression qui devient

rr, II, identiquement nulle par suite des formules (5) du n"26.

Les formules (6) sont évidemment contenues dans les formules (3]) de notre Tliéorie des Coordonnées citr'jili^nes quel-