CHAPITRE m. — BELATIONS EKTHË les VAltlATIONS, ETC

conques (p. ?-o). Les seconds membres de ces dernières sont linéaires par rapport aux cosinus des trois angles des lignes coordonnées; et il suffit de supposer nuls deux de ces cosinus pour passer du cas général au cas particulier qui nous occupe, et conséquemment pour trouver les formules (6) de notre texte.

Sens et portée des deux premières formules du groupe précédent. — Avant d'étudier le sens et la portée de ces formules, examinons un instant les propriétés des binômes

77' ïTïi TF~- Ils se composent de la même manière,

rr, II, nUi LLi

le premier par rapport aux courbures normales propres ou inclinées, le second par rapport aux courbures langentielles de

même nom ; nous représenterons par — ? ^ les rapports du

premier et du second au carré du sinus de l'angle des lignes coordonnées, de telle sorte que

Les formules que nous venons de démontrer prouvent que le premier élément ^, ne dépend que des variations des projections tangenlielles des angles de contingence propre ou inclinée des lignes coordonnées, et par conséquent ne dépend, n° 30, que des paramètres différentiels R, H,, G, bien que chacune des courbures normales qui entrent dans le second membre ne puisse être exprimée exclusivement en fonction de ces paramètres. Cet élément se rapporte à la surface et à sa courbure, comme nous l'établirons plus loin. Le second élément ne dépend aussi que des paramètres différentiels H, H,, G, puisqu'il se compose exclusivement de courbures tangenlielles des lignes coordonnées. Il caractérise proprement le système des lignes coordonnées projeté sur le plan langent. Nous appellerons le premier l'élément composé des courbures normales, el le second l'élément composé des courbures tungentielles. Ces observations une fois faites, remarquons que les deux premières équations du groupe (6) peuvent s'écrire sous

4^ l.IVRJÎ r. — PROPRfÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES, ETC.

la forme suivante, dui éiani l'élément superficiel,

/ l/a{J|C0l9) ~ (/|(ICOL'J))

La comparaison de ces deux formules montre qu'elles sont, l'une et l'autre, deux cas particuliers d'une formule unique tout à fait générale, telle qu'une fonction t]j de 9 qu'elle renferme devient, dans le premier cas, cotcp, et, dans le second, sin-'9. C'est d'ailleurs ce que l'on voit directement en tirant

des équations (6) les valeurs de -jT^ et de -jt-ji et en multipliant

la première par sin94'''('P) ^^ la seconde par — ^''f?)' ^'^ •^^ ajoutant, les deux fonctions 4'"(<P)> Vi'^) étant les dérivées seconde et première d'une fonction tout à fait arbitraire de l'angle 9 représentée par 4'('?); on obtient ainsi

(ll^

Pour abréger, nous représenterons le premier membre de

cette équation par -- ,': . • Si l'on a égard aux équations (5) du

"-( + ) n" 26, la formule précédente prend l'une des deux formes

Ces deux formules forment un sjstème de deux équations dont la résolmion donne séparément les deux éléments - , , ,

yGoosle

CIIAl'ITB]; m. — UEI.AIIONS KNTRE LES VARUIIONS, F.ÏC. /\5

et (/,(/,4'(?); les valeurs de ces éléments sont donc

[8] S |^=A[(J^-".)4''(?ll + ''.[('~l)+'(?)].

Or, d'après les deux équations conlenues dans le type (5) du n-'âG, l'on a

el conséquemment par la différentialion

on awra donc aussi les valeurs suivantes des deux éléments dont il s'agit :

Ces différentes formules, qui sont des transformations de la formule {7), ont une haute généralité à cause de la fonclion arbitraire 4'(9' qu'elles coniiennent.

38 Diverses/ormes de la fonction.'^. — - 1" Éludions la forme la plus simple de la fonclion <]'(f), et supposons qu'elle est proportionnelle à l'angle 9. Si l'on pose ijj{ 9 ) = 9 dans les formules précédentes, on trouve, à la place de l'équation [7], la^ formule (7) suivante

Les forrr

iTilcs [8] produisent les deux suivante

Les formules (■; ) donnent naissance à la proposit de forme nouvelle :

44 LIVRE I. — PiiOPElÉTÉS GÉNÉBA-LIS DKS COURBBS, TlTt!.

Théobème. — <Si l'on prend les variations des projections tangentielles des deux angles, l'un de contingenre inclinée., l'autre de contingence propre de deux lignes coordonnées suivant les paramétres correspondants, le rapport de la différence de ces variations à l'élément superficiel reste invariable pour un point de la surface, quel que soit le système des coordonnées, et égale Vêlement composé des courbures nor^

maies ^ ■ Les formules [io] produisent les deux suivantes :

qui sont relatives, l'une à la somme des variations des projections tangentielles des angles de contingence et représenle un théorème bien connu sur l'expression de la courbure de ta surface, l'autre à la somme des variations des projections tangentielles des angles de contingence inclinée et donne un théorème nouveau sur l'expression de la courbure de la surface en fonction des projections tangentielles des angles de contingence inclinée.'

Ces formules, ainsi que celles du numéro précédent, se réduisent à des formes plus simples, suivant la nature des lignes coordonnées.

Si le système est formé de deux lignes se coupant sous angle constant, les formules (lo) deviennent

Or, d'après les formules (5) du n" 26, ces deux équations so confondent en une seule.

Si l'une des coordonnées ds est géodésique, l'une des équa-