COSI

aa,

après

cela.

la formule [lo

] donnera

(Icoti

p)-i- */,(!, cot<

COSf/'^

T dc7, /cosc cosh\ , j ,1 - , — — — -^ — - — d„dA og sin w ).

4" La forme 4* = loglang - ? "Ous est aussi signalée par ia seconde des équations (6'). Dans le cas présent, l'éiémenl ., , , , devient

, , / 1 cosw\

-'''■''•\n*-«rr

et il j a encore deux tricdres qui se présentent dans la queslion, el qui ont pour arête commune la normale; ils sont tels que, si l'on appelle «,, c, les faces opposées à la normale, l'expression précédente devient

dada-, /cosii, coscA ~ sin'œ IarT ~ -L'r , ) '

CUA.P1TI1E III. — llKLiTIONS ENTRE l.ES VAIl[\T!ONS, EiC. 4?

ot alors la première des équaiions{nj) devieiii

ysincp/ \s\n<f J

d(Td>7, / aosii, cosvA . , /. „i,\

39. Discussion des équations (lo). — Nous nous occuperons seulement de la première de ces équations, car il sera facile d'appliquer à la seconde ce qui aura été dit de la première.

1° Si l'angle des coordonnées œ esl de la forme

la première des équations (lo) devient d, 1-+ d,h L

le rapport de la somme des variations des angles de contingences des lignes coordonnées à l'élément de surface estimé dans ce système est indépendant du système coordonné, a" Si cf esl donné par l'équation aux différences partielles

n-aj.

dp dp, K,; '^°'

l'on obtient par l'intégration de cette éqnatioiL

^j^dpj''''dp,'

Dans ce cas, la première des équations (lo) devient

d,J-i-d,h-^o, c'est-à-dire que la somme des variations des angles

48 UÏEE I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COOEBES, ETC.

lingence suivant leurs paramètres correspondants est nulle. Ainsi l'on obtient sur la surface F la même propriété que sur lé plan ou sur une surface développable, lorsque le système de coordonnées tracées sur ce plan ou sur cette développable est tel, que ces courbes se coupent sous un angle constant. En

effet, dans cette double hypotiièse ^ est nul, comme on le

verra plus tard, et la variation de tf est nulle ; donc l'équation anx différences partielles est satisfaite.

40. Trnnsformalion des équations précédentes.— Sii l'on porte dans les équations [ ■; ) du n" 38 les variations des angles de contingence propre et inclinée trouvées au n° 32, l'on obtient

da,\RJ

laquelle est une relation entre les variations des courbures propre et inclinée de deux lignes coordonnées par rapport aux arcs réciproques.

En opérant de même sur les équations (lo) du même numéro, l'on obtient

di7, \k} (/cr\\lj [tu K.XJ sino

rf-o dp dr,.

dp dp.

, da rf(7,

Hr,

:^ùh

d'<ç, dp dp,

dp dp,

Celle dernière ne contient d'autres courbures que les courbures inclinées des coufbes coordonnées. Si l'on élimine les courbures inclinées de la précédente, au moyen des rela-