CHAPITRE III. — KEI.ATIOISS ENTRE LES VAHIATIONt*, ETC

lions (5) du Chapitre II, l'on oblienl l'équalion

'"" i" [ïï; (tv) + K (è)] " (ff """ i; + " m^)

I d^^ dp dp, 1 \ .

qui a été donnée par M. Cauchy, en i844 (')■

La deuxième des équations (lo) peut aussi s'écrire sous la forme suivante :

d^tp dp dpi 1

"^ dpT^, d^d7,~^K^ ^**'

Silo système est oblique sous angle constant, ces deux dernières formules deviennent

d7,\RJ(i7\n.J sin<p\ii' k; rrJ K^

Si le système est rectangulaire, on retrouve une formule due à M. 0. Bonnet :

da. \Vij d'j\\\J \IV R:/ K^

Si, l'angle des coordonnées étant constant, l'une des deux courbes d<T, est géodésique, on obtient la formule

Formules générales. — Les formules que nous venons de développer dans le présent numéro, sont relatives à la va-

(•) rojrez les Comptes rend»!, t. XI, et les §§ X et XI de notre Mémoire sur les coordonnées curvilignes {Journal île Crelte, t. OUI), où toulfis ces formules 3(1 trouvent développées.

5o llïHli I. — PItOPBlÉTÉS GÉNÉRALES DES C.OUBBES, ETC.

leur paniculière de la fonction i)j ( 9 ) = ¥■ H est bon de développer aussi les formules analogues qui se rapportent à la forme généi'ale de la fonction. Si l'on porte les valeurs des variations 14' (9)' ^^''(9} ['*]' ['^] du n"32, dans les formules [9], [8], [10] du n" 37, on obtient :

" rfi L Ri J «'^i I R J

\R,\ Kl) d^dp,

.^^■(T) rT +

L|X| ÏAJ dp dp,

desquelles on déduira sans difficulté les formules qui se rapportent à tout système particulier de lignes coordonnées.

Si le système est simplement géodésiquc, l'on aura à la place de [9') la relation

'9 ' K{i)^) d^\ U ]'^ sinip L,^

Si maintenant on particularise la fonction 4;, comme on l'a fait au n" 38, on obtiendra les formules correspondantes à chacune des valeurs de ij'-

41. Deuxième transformation des équations du n" 38. — Un caractère essentiel des équations (7) et de leurs transformées est que chacune d'elles donne la valeur de la grandeur

géométrique ^exclusivement en fonction des arcs coordonnés, de l'angle qu'ils font entre eux, et de leurs variations, ce qui permet d'exprimer cette grandeur au moyen des trois paramètres différentiels H, H,, G, En effet, si l'on porte les valeurs