CHAPITRE III. — RELATIONS ENTRE LES VABIATIONS, ETC. 5l

de I, et de J tirées des équations (9) du 11" 30, dans les équalions ( 7 ) du n" 38, on trouve

( // r^^i drj — dii costp </<7i )"[ , /dqdT, ~ cos yrf|(/o-\ „ j 'L sinfdQ, J"^" 'X sincprf(7""'"~j

que l'on peut écrire sous la forme suivante, qui est tout à fait symétrique,

td^da — deicos^da,)!

sinijxiff, J

dadiT, sin9

rrf„rft7, — ii,(cos 9^/(7)"!

| sin^rtff

Si l'on introduit les paramètres H, H,, G dans ces formules, l'on trouve

lip HH, df,

On lire de celte formule cette conclusion importante, que si l'on a différentes surfaces sur lesquelles l'on puisse tracer des systèmes de coordonnés tels, que lorsqu'on passe d'une surface à l'autre, les quantités H, H,, G ne changent pas, l'expression =^ ne changera pas pour ces différentes surfaces.

Nous ferons maintenant sur ces équations les remarques suivantes :

i«Sî une des deux séries (p,) des lignes coordonnées osi composée de lignes géodésîques, 9 restant variable, l'équation (9") se réduit a deux termes, l'on obtient alors

/t/. rfg-, -cos9</,</ (r\ \ sinçrfo- /

dt7d<7,i

'lï I.IVUK I. — ['ROPRlÉTfiS (ilîNÉHM.liS DES COUllItES, V-TC.

Or, fîans ce cas la formule (lo), n" 30, donl !e premier membre est nu!, donne

et, en ayant égard à celte valeur, l'équation devient

(/J(sincpo((T, ) siiMpda-, „-__-___ — ^i— ■

Si, de plus, le système est orthogonal, l'équalion précédente ne sera pas simplifiée, puisque l'on aura

qui est de même forme que la précédente. Ces deux équations ont une grande importance, et sont uès-ulîles soit dans la théorie des surfaces, soit dans la théorie des lignes tracées sur ces surfaces. I! est inutile de remarquer que la première de ces deux formules se déduit aussi de la seconde, puisque siniprfffi représente la projection de l'arc dtr, sur l'arc orthogonal, et ne diffère pas en grandeur de la portion de cet arc comprise entre les deux lignes géodésiques qui passent par les deux extrémités de da,.

■2° Si les deux séries des lignes coordonnées du système sont composées de lignes géodésiques, l'on a l'équation déjà trouvée

laquelle est indépendante des varialionsdes arcs coordonnés; elle prouve que, dans ce système, la grandeur ^^ est le rapport de la double variation d, d,<^ de l'angle des lignes coordonnées à l'élément superficiel Hm.

3" Lorsque les lignes coordonnées sont assujetties à cette seule condition de se couper à angles droits, on retrouve l'équation connue

'H'Il ^ 'IlÉÎ: — — 'J±![zd'7, '^ da ~ K,; "■

formules générales. — Si l'on veut obtenir les formules

cnAPlTBE m. — RliLATIOKS RHTRE LES VABIATIONS, ETC. 53

générales correspondanies aux formules du présenl numéro, il n'y a qu'à éliminer I, J, . . , entre les formules [9], [8], [10] du n° 37 ei les formules (9) el(io) du n" 30, on obtient ainsi

^^ ^ i ^ [¥(9) à,dff,-cos<fd,da -\^

' '[ sintp d<7 y

que l'on peut écrire sous la forme suivante, qui est tout 9 fail symétrique par rapport aux deux lignes coordonnées.

, ri{j'(q>) doda— rf|(cosy<fg]"1 d,di,']^[<if) doi

"Lsinij) du

dfjd'T K(4/)

desquelles on tirera des conclusions analogues à celles qui se rapportent aux équations (9") et (10"), Ces conclusions font

voir que les conditions sur l'invariabilité de l'élément rrrr:'

quand on passe d'une surface à l'autre, sont les mêmes que celles que nous avons trouvées pour l'invariabilité de l'élé-

meni ^■

42. Relations entre les variations des composantes normales des courbures propres ou inclinées. — Si dans la troisième des

équations (6) on remplace i par — ?/', par-™) et qu'après

les différenlialions on siibslilue aux variations des arcs coordonnés leurs valeurs trouvées dans les formules (8) du n°28,

on obtient, en remarquant que les courbures -j? j sont égales,

(ti)

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■ PHOPRltTÉS GÉNÉUALES LES COURBES, ETC.

-Ut-'-T)}

Si l'on ajoute ces deux équations membre à membre, l'on obtient

sintp [/ \