COS

COS<p\

qui est sj'métvique par rapport aux deux lignes coordonnées. Si le système est orthogonal, les deux premières équations deviennent

Si de plus les courbes d'une série da sont géodésiqui équations se réduisent, et l'on obtient

daM^ ^,.

k'A. Problèmes résultants. — Les formules que nous v d'établir permettent de résoudre le problème direct des coordonnées curvilignes tracées sur une surface. En effet, lorsqu'on connait l'équation de la surface, et les équations des

deuKeourbes coordonnées en fonction de deux paramètres p, pi,

tllAPITRE ni. — Ri!LAlIO.\S ENTRE J.ES ÏAHiAïlONS, JiTC. 55

on détermine, au moyen de ces l'orinules, tous les éléments géométriques de ces deux courbes, ainsi que les relalions qui existent entre eux. Cette question ne dépend que de différen lia lions. Mais nos l'orinules perraeiteni aussi de résoudre les questions inverses, soit qu'elles se rapportent à la théorie des lignes coordonnées, soit à la théorie des surfaces elles-mêmes. Ces questions dépendent alors du calcul intégral.

Supposons, par exemple, que l'on se donne la composition des paramètres H, H,, G en fonction des paramètres p, pi, ei qu'on recherche toutes les surfaces pour lesquelles ces paramètres conservent la même valeur.

I! y a trois équations fondamentales du problème, qui sont l'équation (9") et les équations {1 1), dans lesquelles les trois

inconnues sont -7' -' -' puisque les arcs el leurs variations

sont des fonctions connues de p et p,. La première cquaiion est finie et de la forme

le second membre étant une fonction déterminée de p ei p,: les deux autres équations sont aux différences partielles et linéaires par rapport aux mêmes inconnues ou à leurs dérivées, les coefficients étant des fonctions de p, pi. L'intégration de ces trois équations simultanées fera connaître ces trois inconnues en fonction des mêmes paramètres. Cela fait, si l'on a égard à ces valeurs, les équations renfermées dans les types [1), (2), (3) du présent Chapitre, que l'on classera par groupes de trois équations, détermineront les neuf cosinus X, X,, Xi ; Y, ï,, Y,; Z, Z,, Zi en fonction de p, p,; enfin l'on déduira de ces valeurs les expressions de x, /, s en fonction des mêmes paramètres, ce qui fera connaître la surface, ou plutôt les surfaces cherchées.

On pourrait aussi se proposer de déterminer la surface ou, plus généralement, les surfaces telles, que les paramètres Hjo), H(i), G(,) auraient, avec les paramètres H, Hj, G d'une surface donnée, des relations soit finies, soit infinitésimales, et il est évident que, lorsqu'on aunût détermine les inconnues H(o),

56 LIVRE I. ~ PKOPmÉTÉS GÉNÉIULES-DES COURBES, ETC.

H(,), G(,) en fonction des paramètres p, p,, le problème s'achèverait comme le précédent.

Il serait facile de démontrer que tous les éléments de solution des questions les plus élevées de la théorie des surfaces sont renfermés dans nos formules de coordonnées curvilignes; mais il est inutile de poursuivre cet ordre d'idées, qui nous éloignerait du but que nous nous proposons, but plus modeste et plus proporiionné à nos forces.