CHAPITRE IV

nUNE COURBE OUEf-CONOUE TRACÉE SU» UNE SURFACE.

4-4. Différentielles de l'arc et de l'aire. — Soit une courbe s quelconque tracée sur la surface F, et rapportée à iin système de coordonnées curvilignes p, p, tracées aussi sur la surface. L'élément ds de cette courbe est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres sont da, da,; en appelant a, (3 les angles que cet élément forme avec de, dtr,, l'on aura

(,) sin9~sin^~"sin«'

[ (/^COSa:=(/<J-l-(i<r, COScp, </sC0Sj3^ d<Ji -\- d(7C0Sa>,

lesquelles l'ont connaître la direction de l'élément ds par rapport aux lignes coordonnées, ainsi que la grandeur de cet élément.

L'aire du triangle désigné a pour expression la moitié du produit des deux côtés du, da, par le sinus de l'angle compris. Celte aire est la différentielle de l'aire déterminée sur la surface par la courbe s, de sorte qu'en représentant par du cette différentielle, on a

(2) diiT^ - dadstSiaf.

Rectification. — L'équation de la courbe est une relation entre les paramètres p etp,. Soit cette équation

(3) p.^^-tp),

la différentielle ds de la courbe ne sera donc fonction que d'une seule variable p, donc l'intégrale de cette différentielle entre les paramètres p<'i et p''' donnera la longueur de l'arc s compris entre les deux courbes de la série p, savoir p(" et p'''.

58 LivnK I, — l'ROi'kiÉTÉs gèhébales dus coukbes, ktc.

Quadrature. — Si l'on remarque que la dKférenUelleV" a la forme 4>[p,pi)</p(^pi et qu'on intègre une première fois celte différentielle par rapporta p, entre leslimi tes pi=p',"etp, =;:|; [p), on aura la tranche diiooupée sur la, surface F par les deux courbes p, p-hdp, et limitée, d'une part, par la courbe p.^^p','' et, de l'autre, par la courbe pi = (fip); l'expression ainsi obtenue ne sera plus qu'une différentielle simple de p; si on l'intègre entre deux valeurs de p, p"> et p'=', on aura l'aire de la surface limitée entre les quatre courbes p, =^p','' et p, ^;jj(p);

p^pf'J, p:=pl'\

45. Courbure d'une courbe s; ses composantes. — Les angles que la tangente à la courbe ds fait avec les trois a\es rectangulaires x, y, z sont donnés par les rapports de dx, dy, dz à ds, dans lesquels les numérateurs sont les différentielles complètes de x, y, z par rapport à p et p,. On aura donc

dx dx da dx da, . -, 'Th "' 'ih ~ds '^ dJ, ds '- '■

Si l'on prend la différentielle totale des deux membres, et

qu'on divise pai

r (/*, l'on aura

d (dx\

d /dx\d,7' d f dx\d(t]

ds\dsj

^ dff\da} ds^ (/(7, [diT.j ds'

r d ldx\ d f dx\"\da da, ^ lda.\df7)'^d'7\d(Tj\ds (/s

dx d /d(7\ dx d /f/<7,\.

^ dads\dsj "*'rf<7, ds\ds j'

or, si nous rcpi

résentons par l, la courbure de la courbe ds.

par-j-! — ) ~ ses trois composantes suivant les deux lignes

coordonnées d<7, da; et la normale à la surface, l'on aura (28)

rf (dx\^^^^ ^ ds \ -■/* j " P„ ^ P, '~ p'

Si l'on porte cette valeur dans le premier membre de l'équalion précédente, et qu'on mette dans le second membre les

CUnriTBE lï. — d'une UOUKBE quelconque, liTC. Sç)

valeurs de -r-i -r~^, ~t-^i -, — , tirées des équalions(i)cU2)

rfcr a/7, da an, du n" 34, les deux membres, après celte substitution, devant être identiques quels que soient X, Xi, Xi, l'on obtient les trois équations

ds'

ïiïï;

COtcpX da

--crldi

lia </s,

de

K.sin

+ J„sm<,)

ds

dada.

, ds dt

d<7, \ds ds

Ces équations donnent les trois composantes de la courbure j^

de la courbe ds, suivant les deux courbes coordonnées dn, dn, et la normale à la surface.