De la composante langenltelle de la courbure rr- —Cotte
composante, que nous représentons par = > est la projection
orthogonale de la courbure propre de la courbe ds sur le plan tangent à la surface F. Pour l'obtenir, il suflit de multiplier la courbure p- par COS9, et d'ajouter la courbures-ion trouve
ainsi la composante orthogonale de la courbure p suivant l'élément dcr; on a donc
cos(P, </o-) Si\i\!p da] sincp("/[7(i((7i ~~p — |{, "rf^ + L 'ds ~ds
d (da\ du d jdfjAdu,
■^d^[-di)lu^'''''^d7A-di)lh'
yGoosle
6o LIVRE 1. — PROPIIIÉTÉS GfiNÈBALKS TES COURUES, BTC,
or, remarquons que cos(P, dtr) est égal à sina, et si l'on dilférenlîe par rapport à ds la dernière des équations (i) divisée par dSf on trouve que les deux derniers termes de l'équation
précédente se réduisent à sina -r^i (/j5 étant une différentielle
complète; on obtient ainsi la valeur de -5 sous l'une des doux formes
sine . >lp
smS siUK . da fî L, ^ ds
cette dernière s'obtenanl directement, en prenant la composante p suivant l'élément da,.
Ces formules sont d'une grande simplicité; elles l'ont connaître la composanie tangentîelle de la courbure de la courbe proposée en fonction des composantes tangentielles des courbures propres et inclinées des lignes coordonnées, et de la variation totale de l'angle que l'élément de cette courbe fait avec les deux lignes coordonnées.
47. Composanie tangentielle de l'angle de contingence de la courbe ds, — Si, dans les deux formules précédentes, on remplace les sinus par les arcs qui leur sont proportionnels (1)1 et qu'on introduise les angles de contingence propre ou inclinée, l'on aura
(5') ^'=I,+J + <(?, -^' = l+J, + rf,.
dans lesquelles da., </(3 sont les différentielles totales des angles « el p par rapport à p ei à p,.
ds
Ces formules donnent (a projection tangentielle -^ de l'angle de contingence de la courbe ds, en fonction dos projections tangentielles des angles de contingence propre et inclinée des lignes coordonnées.
Si l'on remarque que o est la somme des angles a et p, et
CIlÂPllRIi IV. — 1) UNE COURBE OUELCONQUE, ETC. 6l
que l'on élimine des doux équations (5') les angles J et J,, au moyen des relations contenues dans le type (5) du Chapitre II, ces deux équations se condensent en une seule, qui est
De là résulte que l'on peut aussi écrire celte équation sous l'une des deux formes
lesquelles font connaître les variations comjilètes des angles a et |3 que la courbe s fait avec les deux lignes coordonnées.
On peut aussi exprimer l'angle de contingence -g- en fonction des projections tangeniielles des angles de contingence inclinée des lignes coordonnées, en éliminant I et I, de la formule (5") au moyen des relaiions {5} du Chapitre II. On obtient ainsi
/fi
(5'"} ^ = 3~i,^d:,^^d,cc (.).
De même on peut exprimer les variations totales da, dp au moyen des mêmes angles de contingence
(6") rfa:=j-j,-i-rf,9-^, (/j3 = j,j + (;,y4-*.
Il est inutile de remarquer que si, dans toutes ces formules, on remplace les angles de contingence par le rapport de l'élément de l'arc au rayon de courbure correspondant, et qu'on substitue aux arcs les sinus opposés qui leur sont proportionnels (i), toutes les formules trouvées dans le présent numéro, se rapporteront aux courbures. Elles ne seront autre chose que des transformations des formules (5) de ce Chapitre au moyen des équations contenues dans le premier des deux types (5) du Chapitre II.
