LIVRE I. — PIIOPRIftTÉS GËNËRALES BES r.OURBEB, KTC
48. Construction du rayon iangentiel de courbure. — Appelons — TT) la projection tangentîelle de la courbure inclinée de
la courbe o-, sous .l'angle P; rr^ la projection langentielle de
la courbure inclinée de la courbe a sous l'angle ex : on a les relations
, ^ d(Ti dtj, , d<7 du
D'api-ès cela, l'équation (5")deviendra, en remplaçant les arcs parles sinus proportionnels (i),
sintp sin|â sina
De là résulte que les extrémités des trois rayons P, L'f , L'"' sont en ligne droite si, à partir du point considéré, on porte ces trois rayons dans la direction de ds, da,, du.
De même appelons T|a], T(p) les rayons correspondants aux projections tangentielles des courbures inclinées de la courbe ds, la première sous l'angle «, et la seconde sous l'angle (3 : on a les relations
, ds ds ,^ ds ds
-''" = ¥ + ■1;:;' ''^=r-Tm'
dans lesquelles da, d^ sont des différentielles complètes; d'après cela, les équations (5) deviendront
Sincp Sina sinp sinm sinp
Donc les extrémités des trois rayons Tj^) , R, , L sont en ligne droite, ainsi que les extrémités des trois rayons ï,,;, L,, R, pourvu que ces rayons soient portés, à partir du point considéré, dans la direction des éléments ds, du,, du.
Il résulte de ce qui précède que si les trois courbes quelconques ds, du, da, , passant par un même point, font entre elles deux à deux des angles fonctions des coordonnées de ce point, le rayon correspondant à la projection tangentielle de
CIlAl'ITRIi IV. — B'UNK COUrilili QUELCONQUE, liTC. 63
la courbure propre d'une des trois courbes </s et les rajoiis correspondants aux projections tangenlielles des courbures inclinées suivant les deux, autres courbes ont leurs extrémités situées sur une ligne droite, si l'on porte ces rayons, à partir de ce point, dans la direction des éléments ds, di, diy, . Ceci démontre que lorsque deux des trois rayons sont connus, le troisième se trouve géométririuemeni déterminé.
C'est le lieu de remarquer ici que si la courbe ds coupe la courbe coordonnée dtj sous un angle a constant, la seconde des équations (5) démontre que les extrémités des rayons P, R, Li sont en ligne droite, et que si, l'angle des lignes coordonnées étant constant, la même courbe coupe les lignes coordonnées de la série [a] sous un angle aussi. constant, les extrémités des rayons de courbure P, R, Ri de la courbe et des lignes coordonnées sont en ligne droite, pourvu que dans les deux cas les rayons soient portés dans la direction des éléments ds, dix,, drj.
49. Composante tangentielle de la fourhure -r en fonction des variations des arcs coordonnés. — Multiplions les deux membres de l'équation (5'°} par rfo-rfiTi siny; on trouve, en ordonnant et en ayant égard aux relations (i), ainsi qu'aux valeurs de J et de J, [(9), Chapitre II],
dada, — ^inra = d, dtr [d a- -h COS':fda:) — dtd a, {du, + coso da) -h ds{dii^s\n<^dtP — drj?Xnixd,a.).
Or si l'on remplace dans le second membre ies focieurs de d,dr7, dtdiT, par leurs valeurs dscosa, dscos^ (i). et qu'on groupe les termes dépendants de a, ainsi que les termes dépendants de (3, on trouve l'équation suivante :
, , dadut sinœ , , , , , , , -,
(7) , ^ i t/, f^g-cosa) ~d„(da,co^P),
qui est aussi simple que significative. Si l'on représente par dv, dv\ les projections des éléments da, da, sur la direction de la courbe ds, elle prend la forme
i d,{dy ) — d ,{dy,) 1' "^ " </m ""
yGoosle
64 LIV-RK r. — PROPRIÉTÉS (lÉNfiRALES DES COIIBUKS, IITO,
On obtieiit ainsi ce iliéorènie nouveau :
La couAiure tangentielle d'une courbe quelconque tracée sur une sutface est le rapport de la différence des variations des projections des arcs élémentaires coordonnés sur la direction de la courbe à l'élément de surface.
L'équalion (7) peut êlre obtenue d'une autre manière, indépendante de l'équation (Sf. En effet, si l'on applique la formule (10) du Chapitre II à l'arc ds et à l'arc da, le déplacement par rapport au premier étant complet et correspondant à la variation d, et le déplacement par rapport au second étant partiel et correspondant à la variation di, on obtient
. il.f(l(7, s\na , , , , , .
T^— — =^aads — «[aucosit).
Si l'on remarque que i'on a
rfs=(/[7C0Sa-i-(/7, cos|3, d^da + dt, on retombe sans aucun détour sur l'équation (9).
50. De la composante normale de la courbure ^- ~ La troisième des équations (4) donne la composante de la courbure -jâ de la courbe ds suivant le plan normal à la surface F mené selon l'élément ds. Celle équation peut s'écrire sous la forme suivante :
(/,!' d<7' da] drrda,
OU bien, si l'on remplace les arcs par les sinus proportionnels (i), sous la forme
sinasin^ Si l'on introduit les angles de contingence correspondants aux
^sino = [/+,/,)sin[3-i-((",
yGoosle
