CHAPITRE lY, — D UNIS coiiHiiE yuiiLcoKyiiE, etc. (i
avoc ceWi cundiiion qui résultai de la relation (7) du Chapitre Il ;
{91 j, siri[5=./siiia,
L'équation (8") montre que si l'on prend, à partir du poini considéré sur la surface et dans la direction des trois éléments ds, da et (/(7i, des longueurs inversement proportionnelles
à —5 i+ji, i,-i- y, les extrémités de ces longueurs seront en
ligne ilroiie.
Or, comme l'équation (8) peut encore s'écrire sous les deux formes suivantes
on en déduira des tliéorcmes analogues.
Si. Plan osculateur. — Kapportons la position du plan osculateur de la courbe ds au point considéré aux trois directions dtr, da, et la normale «. Ce plan passe par l'élément </s qui fait avec les arcs coordonnés rfo-, du, les angles a et |3; II suffit donc de connaître l'angle que la normale N à ce plan fait avec la normale n à la surface; or cet angle est le même que
les formules des numéros qui précèdent, la position du plan osculateur sera déterminée.
Écrivons les expressions des cosinus des angles que la normale N fait avec les directions n, du, du,. Si l'on remarque que l'on a
66 LIVRE !, ~ l>KOPmÉTÉS GÉNÉRALT
ces expressions sont
(g cos(N, (/o-)^ — siaa,
Les cosinus des angles que cette normale N fait avec les trois axes coordonnés s'en déduisent sans difficulté, car, si l'on fait faire, dans son plan, un quart de révolution au
triangle dont les côtés sont ^t -55 - et qu'on projette le périmètre sur l'axe des z, on obtient
, cosp
52. Étant donnée l'équation de la courbe ds, calculer tous If.s éléments de cette courbe. — Soit l'équation de la courbe ds
a = i)j(p, p,) =-.-(;onst.
On a , , du , du ,
Longueur de l'élément ds. — Si l'on pose, pour abréger,
rfp; d'j' (/p dp,
on a
, , ds __ dp dp,
K """ du du
dp, dp
Direction de l'élément. — Si l'on fait usage des équations { 1 ) du présent Cbapitre, en ayant égard aux expressions trouvées
! COURUE QUIiLCOSQUE, FTC.
bn.
le n" 31, on trouve
du K f/p,
K dp, K </p „ , H' rf/i G' du
n,COSp==— -ïri- -7- + -j^ -j—
' K dp k dpi
Ces formules font connaître les angles «, ^ que l'élémciit ds l'ait avec les lignes coordonnées.
Farialion de l'angle des lignes coordonnées. — On a on en dôduii
I __ G' <fp\HHj rfpiVHH ,)
Ces formules donnent les variations de t'angic 9 par rapport à chacun des paramètres p, p, .
Composante tangentieîle de la courbure. — On trouve
1 ( H^ H; — C,')"^ ^ /H^ ^ l'I ^\ ,,. ]'" P -rfp.Urfp, Krfpj
1 ji^ /h; rf»G" rf»\
( * r/p 1^ K rfp K i(p, j'
et, si l'on développe les différentiations, on obtient
p -deXêeM) df\]L]\
rfpLrfplKJ <(p, U/J H- rf^< II; rf^ c; rf'»
K dp: '^"K </p" ^' K r/p(/p,'
18 LIVUK 1. — PKOPRIÉTÈS GÉNÉHALES DES COURBES, ETC.
Composante normale de la courbure. — On trouvera, c ;ervant de la formule (8), l'expression suivanle
rfp, r, df l dp rip,
Mais dans celte expression les courbures normales, propres ou inclinées, des lignes coordonjiées ne peuvent pas, comme dans les courbures tangentielles de ces lignes, s'exprimer exclusivemeni en fonction des paramèires.différentiels du premier ordre H, H,, G et de leurs variations; il faut les calculer directement. Représentons par a, b, c, a,, b,, c, les dérivées de X, y, z par rapport à p et p, : on trouve sans difficulté les trois formules suivantes
dn (J> C| — 6-fci)
\ ^ ^' hh,(h=h;-g«)'
et en portant ces valeurs dans l'expression de -) écrite cidessus, on aura la courbure normale de la courbe ds.
33. Transformation des courbes tracées sur deux surfaces différentes. — Considérons une seconde surface F', sur laquelle se trouve tracé un réseau de lignes coordonnées p', p',, et soit une courbe u' = >^'{p', p',) = o décrite sur celte surface. Si les nouveaux paramètres différenliels H', H',, G' se composent par rapport aux coordonnées p', p', de la même manière que les anciens paramètres différenliels se composaient par rapport aux coordonnées p, p,, et si, de plus, l'équation de la seconde courbe par rapport aux nouvelles coordonnées est la même que l'équation de la première courbe par rapport aux anciennes, on voit que l'élément de l'arc de cette seconde courbe, sa direction par rapport aux arcs coordonnés, l'élément de surface, la courbure tangeniielle, seront exprimés
C1IAI>ITRE IV. — d'une courbe QUELCONQUE, ETC. fil)
par des fonctions des nouvelles coordonnées ideniiqucs à celles qui exprimeni les mêmes éléments de la première courbe au moyen des anciennes coordonnées. Mais, par les raisons données à la fin du numéro précédent, il pourra en être autrement de la composante normale de la courbure de celte seconde courbe, parce que cet élément dépend d'autres grandeurs que les paramètres différentiels du premier ordre H', H',, G' et l'équation 4"' de la courbe. L'identité de composition analytique des éléments dont nous venons de parler entraînera des propriétés géométriques sinon égales, puisque les deux systèmes de coordonnées peuvent être diversement composés au point de vue géométrique, du moins jouissant d'une certaine analogie qu'il sera possible d'exprimer géométriquement dans chaque cas particulier. Ainsi, lorsque la courbe u sera reclifiable, il en sera de même de la courbe m'; si l'aire de la surface limitée par la première courbe et les lignes coordonnées extrêmes est carrable, il en sera de même de l'aire de la seconde surface, limitée par la seconde courbe el ses lignes coordonnées correspondantes. Les propriétés descriptives de la première courbe appartiendront aussi à la seconde, el ainsi de suite.
Il existe un cas très-général dans lequel les conditions précédentes sont remplies : c'est lorsque les deux surfaces sont applicables l'une. sur l'autre. On verra plus loin qu'alors, bien que les surfaces F et F' soient différentes, les paramètres différentiels H, H,, G, H', H', G' n'ont pas seulement la même composition chacun à chacun, mais qu'ils restent les mêmes, puisque les deux systèmes de coordonnées sont identiques dans les deux cas. Il suffit donc, dans ce cas, que les deux équations 4» et 4' des deux courbes soient les mêmes pour que l'on doive tirer les conclusions que nous s d'indiquer.
— PROPHIÉTÉS GftNÉRALKS DES COURBES, I
