DE LA COURBUHE DES SURFACES

54, Objet du Chapitre. — L'équation ("générale que nous venons d'établir sur la composition de la courbure normale à. la surrace d'une courbe quelconque en fonction de courbures normales des lignes coordonnées, n'est pas seulement propre à l'étude de la courbure de cette courbe, elle renferme toute la théorie delà courbure des surfaces sans restricLion aucune. L'objet de ce Chapitre est consacré à développer toutes les particularités de cette théorie, comme conséquences de l'équation indiquée.

Courbure d'une section droite normale à la surface. — Menons un plan perpendiculaire à la surface suivant l'élément ds, la courbure de la section ainsi obtenue au point considéré est la projection de la courbure de la courbe ds sur ce plan normal, d'après le ihéorème établi au n°23. Donc l'équation {8'} du n^SO fait connaître ia courbure d'une section normale en fonction : i" des angles que le plan de cette section forme avec les plans normaux à la surface menés par les éléments des lignes coordonnées; 2" des courbures normales des deux sections interceptées par ces deux plans; S" d'une certaine courbure composée que nous avons appelée composante normale de la courbure inclinée de l'une des deux lignes coordonnées par rapport à l'autre, mais que l'on peut aussi définir, comme cela doit-être, indépendamment des lignes coordonnées, et seulement par la considération des sections normales, comme on le démontrera plus bas; celte équation que nous transcrivons ici

sin'ffi sin' P sin'o: asinasinfi

fail donc comiailrR -t au mojen des cinq élémcnls, a, (î, r, I-, n l.

55. Représentation géométrique des rayons de courbure des diverses sections normales à la surface autour d'un point. — Si, à partii' du point considéré sur la surface, en prend sur la tangente à chaque section normale suivant ds, qui est supposé faire tous les angles possibles avec les arcs coordonnés da, du,, une longueur proportionnelle à la racine carrée du rajon de courbure correspondant, l'équation précédente devient alors celle d'aune conique située dans le plan tangent rapportée à un rayon vecteur issu du centre, et aux angles que ce rajon forme avec deux directions du, du,. Ainsi celte longueur décrira une conique située dans le plan tangent, ayant son centre au point considéré. Les rayons vecteurs de cette courbe auxiliaire feront connaître les rayons de courbure des sections normales faites suivant ces rayons vecteurs. De là résulie :

i" Qu'il y a deux directions de ds, rectangulaires entre elles, qui correspondent, l'une à un rayon de courbure maximum, et l'autre à un rayon de courbure minimum parmi tous ceux des sections normales : ces rayons de courbure sont appelés principaux;

2° Que toutes les relations qui existent entre les carrés des demi-diamètres de la conique formant certains angles entre eux, existent pour les rayons de courbure des sections normales correspondantes à ces demi-diamètres;

3" Que si les deux courbes coordonnées du, de, sont tangentes a deux demi-diamètres conjugués de la conique, le double produit sinasin|3 n'entrera pas dans l'équation polaire de la conique; donc les composantes normales des courbures inclinées sont nulles pour deux directions conjuguées de do.

Discussion des rayons de courbure des sections normales. — Cette discussion est ramenée à la discussion des carrés des diamètres de la conique auxiliaire; il y a trois cas à distinguer

suivant que le binôme •— — j, est supérieur, inférieur ou égal

à zéro.

i" Si ce binôme est supérieur à zéro-, la conique auxiliaire est une ellipse : donc tous les rayons de courbure ont le même signe, toute section de la surl'ace est toujours convexe dans le même sens.

'}■}. LIVRE [. — PROrBIÉTÉS GÉNÉRALES DES «OURBES, ETC.

a" Si le même binôme est inférieur à zéro, la conique auxiliaire est une hyperbole; mais ici il y a à considérer les rayons vecteurs réels el les rayons vecteurs imaginaires, puisque les rayons de courbure, devant être proportionnels aux carrés de ces rayons vecteurs, seront réels dans les deux cas.

Or, si l'on construit l'hyperbole conjuguée de l'hyperbole ■ réelle, et qu'on multiplie par v^-— i les demi-diamètres de cette hyperbole conjuguée, on aura les valeurs imaginaires des demidianièlres de la conique auxiliaire. Donc les carrés des demidiamètres de l'hyperbole conjuguée représenteront les rayons de courbure correspondants, considérés comme négatifs. D'après cela, les directions des asymptotes donneront des directions pour lesquelles les rayons de courbure des sections normales seront infinis, el elles partageront le plan tangent en quatre régions; la surface sera convexe pour deux régions opposées, et concave pour les deux autres régions; les directions des rayons principaux seront les bissectrices des angles des asymptotes-

3" Si le binôme est nul , l'équation représente deux droites parallèles rapportées à une origine située à égale distance de ces droites. Donc tous les rayons de courbure seront de même signe, il y aura une direction unique, celle qui est parallèle à chacune de ces droites, pour laquelle le rayon de courbure sera infini t ce sera nn rayon de courbure maximum; la direction perpendiculaire donnera le rayon de courbure minimum. Ce caractère appartient aux surfaces développables.

D y a à considérer le cas où la conique auxiliaire devient un cercle, alors les rayons de courbure des diverses sections normales sont égaux; on dit alors que le point de la surface pour lequel se présente cette particularité est un ombilic; les conditions analytiques correspondantes à ce cas sont

56. Différentes formes de l'équation {i). — Elles résultent' de ce que nous venons d'établir dans le numéro précédent :

i" Si les lignes coordonnées drj,di7, sont tangentes aux axes de l'ellipse auxiliaire, en appelant w„ rzi les rayons principaux

CilAl'IIKH V. — BK L.V COlHltllHK CHS SUHFAGES. ']i

de courbure, cette équation devient

I __ cos'« sin^a

c'est la formule d"Euler.

5" Si les lignes coordonnées sont tangentes à deux diamètres conjugués de relli|)se auxiliaire, on obtient l'éciiintion

sin'y sin'fi sin'o:

3" Si le système est rectangulaire, l'équation devient I __ cos^st sin' a 2 sina cosa

dans laquelle />, r, r, sont les rayons de courbure des sections normales faiies suivant les angles correspondants; / a aussi une signification géométrique indépendante du système coordonné.

En effet, lorsque le système des coordonnées est orthogonal, la projection normale de l'angle de contingence inclinée 3 est un angle égal à l'angle du plan normal à la surface suivant du et de la normale infiniment voisine, menés par les extrémités de cet élément, puisque les éléments de ces deux angles sont perpendiculaires chacun à chacun; or le rapport de ce dernier angle à l'élément rf<T est appelé seconde courbure géodésiquede l'arc da; d'ailleurs la direction de l'arc de cercle infiniment petit qui mesure le premier de ces deux angles égaux est celle de la normale à la surface ; donc la composante normale de la courbure inclinée de l'arc da est égale à la seconde courbure géodésique de cet élément, lorsque l'angle des coordonnées est droit.

4° Il faut conclure de ce que nous venons de dire, et du théorème démontré au n" 28, sur l'égalité des composantes normales (7) de deux courbures inclinées des deux arcs d'un système coordonné, que les secondes courbures géodésiques de deux directions rectangulaires tracées sur la sarface sont égales entre elles, de sorte que, si l'on appelle -r,' 7^ ces deux

courbures, l'on a -- = -—■

74 irvRK I, — PB0FH1ÉTÉS générales des courbes, kto.

57. Relations entre les composantes normales des courbures inclinées des deux systèmes différents. — Chaque système de lignes coordonnées tracées sur une surface déiermine deux courbures inclinées ayant l'une et l'autre même composante normale à la surface. Cette composante, pour une même surface, varie d'un système à l'autre; nous nous proposons de trouver les relations qui existent entre les composantes inclinées de deux systèmes différents.

Soient ds, ds, les arcs coordonnés du nouveau système, le premier arc faisant les angles a, ^, le second les angles x„ (3, avec les arcs da, du, du premier système. Soil />, le rayon de courbure de la section normale à la surface suivant dsx, on aura, n° 54, formule (i),

sin'<p __ sin'P, sin'a, asinaisinp, _______ + __+

Or, si l'on rapporte da au système ds, ds, et qu'on représente par y la composante normale de la courbure inclinée du nouveau système, 9 étant l'angle des éléments ds, ds,, on aura

si l'on élimine p et p, de cette dernière équation au moyen de !a précédente et de l'équation (t), on trouve

sin'm sin|3sin|3i sinccsina. sin ce, sin ^ + sin o: sin p,

laquelle donne ta composante normale de la courbe inclinée d'un système de coordonnées ds, ds, en fonction des composantes normales des courbures propres ei des courbures inclinées du système da, da,.

58. Suppression de la seconde courbure géodésique d'une courbe ds. — Si, dans l'équation précédente, l'on suppose les rourbes ds, ds, reciangolaires entre elles, on a les conditions