CHAPITRE ï. — DE LA COUnUURE DES SURFACJ

rie plus, d'après ce qui a été établi au n" 56, la c

bure géodésique de la courbe ds. Si l'on représente par ~ celle

courbure, l'on aura

(2-) sin'y^ sina|3 sin7-a ^ sin(o:-iS}

Si, dans cetie formule, on élimine les cosinus de a el de [3 au moyen des deux dernières équationsfi) du n" W, dans lesquelles on aura remplacé les arcs par les sinus proportionnels, l'on aura

I sin'y __ /. cosy\

Si le premier système da; do-, est aussi rectangulaire, -r devieni la seconde courbure géodésique ^ de l'une des deux

courbes du système, et, comme les deux angles a et ]5 sont alors complémentaires, on obtient

Si enfin l'on suppose que le second système est tel, que les lignes d/T, d(Ti sont tangentes aux deux sections principales,

— devient nul, el l'on retrouve la formule de M. Bertrand :

igné ds. — Si l'on variation do la courbure - lorsque l'élément i/,'.

■J^ LEVBE I. — PROI'RIÉTÉS «ÉNÉRALKS DES ROULlIilîS, ETC.

prend tomes les posiiions possibles en tournant, dans le plan langent, autour du point que l'on considère, on trouve, pour l'expression de cette variation, en remarquant que (/a = ^6? (3, le second membre de l'équation (a') multiplié par. 2; donc

Si l'on prend la variation de rr donnée par la formule (2'), on trouve

.. d /i\ cos'3— sin=a cos'« — siri'a

^'"•'^;7^(v) = —r ■ TT—

. cos(a-p).

or, si l'on appelle — la courbure de ta section normale faite suivant son élément dsr perpendiculaire à ds, on a

ce qui (lonnp,

de là résulte que l'on a successivement

d^\\]=d^\p)^di\fj^'

or Ton a irr -1- rr "ul, donc on obtient

59. Expression de la composante normale de la courbure nclinée. — La composante normale de la courbure inclinée l'un système de lignes coordonnées est un élétnent important