CHAPITRE V. — niî LA COURUUttË DES SUnFACES. ■^■j

dans la ihéorie des surfaces; nous allons montrer que cette composante qui, dans chaque système, a une traduction simple qui permet d'en calculer facilement l'expression analytique, a aussi, comme nous l'avons annoncé, n" 54, une signification indépendante de tout système ; et que cette composante ne dépend que de la courbure de la section normale, suivant l'une des lignes coordonnées, et de la seconde courbure géodésique de cette ligne.

Si, dans la formule (2), on élimine a,, [3, au moyen des relations [3i = p — 0, a, = 9 + a, et qu'on ordonne le résultat suivant COS0, sinS, l'on trouve, en ayant égard aux formules (1) et [2'), la formule simple

>sâ sinG

On trouvera de la même manière pour l'arc ds„ en représentant par^ la seconde courbure géodésique de cet arc, la formule analogue

desquelles on déduit par addition

Ces diverses expressions montrent la différence essentielle qui existe entre la composante normale de la courbure inclinée d'une des lignes coordonnées d'un système et la deuxième courbure géodésique de cette ligne. Ces deux courbures sont toujours distinctes l'une de l'autre, à moins que le système des lignes coordonnées ne soit rectangulaire. C'est

(') Les formules (3) et les suivantes ont été pnhlipes par nous en 1864. notre Mémoire sur la courbure "des surfueea inséré dans lo tonia VI do In S des Sociétés siwanle!. Voyez p. 4", formules (ra), fta'), (is*). Nous faî cette remarque parce qu'un sasant jféomètre, qui sans doute ignorait notre vail, a publié ces formules dans un Mémoire S'ir /es lif;nes tracées si-r les faces, § IV, p. i5, imprimé en iMS.

^fi LIVRE 1. — PKOPRIÈTÉS GÉNÉRALES I

dans ce cas seulement qu'elles sont égales entre elles. Mais la propriélé principale des équalions précédentes esi de donner, de la composanie normale de la courbure inclinée, une signification indépendante de loul système.

Si l'on suppose que l'une des deux courbes ds du système ds, dSi est fixe, et que la seconde forme avec la première tous les angles possibles dans la formule (3),p et V étant alors invariables, le rayon ï. de la courbure inclinée projetée sur le plan normal à la courbe suivant ds^ variera comme le rayon vecteur d'une ligne droite déterminée de position et située à une dislance de l'origine égale à la racine carrée de

l'expression — -t- -^-

II est bon de remarquer que l'on peut obtenir la valeur de la courbure t- en fonction des courbures propres et des secondes courbures géodésiques des lignes coordonnées d'un même système, indépendamment de l'angle qu'elles forment entre elles: il suffit d'éliminer entre les deux équations (3) et (3'); on obtient ainsi

iit

Ces différentes valeurs de la composante normale de la

courbure inclinée montrent qUe cette composante peut être

nulle sans qu'aucune des deux secondes courbures géodésî-

ques le soit ; il suffit que l'on ait la relation £- = — -^, c'est-

à-dire que les deux courbures géodésiques soient proportionnelles aux courbures des sections normales correspondantes. C'est ce qui a lieu lorsque les deux lignes ds, ds, du système sont tangentes à deux diamètres conjugués non rectangulaires de la conique auxiliaire.

U est aussi bon de remarquer que les formules (3) et les suivantes serviront à transformer les diverses relations qui existent entre les composantes normales des courbures inclinées. C'est ainsi que les formules (i i) du n^/i-S ne dépendront