CHAPITRE V. — DE LA COUBllUfiE HES SOUPACES
pi lis, après l'éliminalion de /, que des courbures des sections normales et de leurs secondes courbures géodésiques. Nous laissons au lecteur le soin de faire celte transformation, qui conduit à des résultats remarquables.
60. Expression des rayons principaux de courbure, — Pour déterminer dans le plan tangent à la surface, au point dont il s'agit, la direction des sections normales correspondantes aux rayons principaux de courbure, sections que pour cette raison on appelle sections normales principales, ainsi que la valeur des rayons principaux , il suffit d'égaler à zéro la différentielle de - donnée par l'équation (i), cette différentielle étant
prise par rapport à l'angle et.; et en remarquant que l'angle |3 est une fonction de a. donnée par l'équation
(4) 5in=ip = sin'a + sin'P + ^sinasinpcosip;
celle-ci est donnée par l'équation (12) du n" 43, dans laquelle les arcs ont été remplacés par les sinus proportionnels. Les différentielles de ces deux équations donnent
/sina sinS\ , /sinS sina\ „ ,„
I h —j- \ COSxdx :::= — f ^ + —j~- \ COS^dp,
{sina + cos9sin(3)cosarfo: — — (sin(3-i- C0S9 sino:)cos|3(/[3.
Eu divisant l'une par l'autre, on obtient sans difficulté, — étant un rayon principal,
I sina sin[3 sin(3 fiua
i- cosa sin [3 sîn p + cosç sina
sin=a sin'S asinasinS
Si, entre deux quelconques de ces valeurs de — le rapport de sin [3 à sino:, on trouve
(6) î5î-(i + i-'^UH-(i-T
8l> LIVEIE I. — PROrREÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES, ETC.
Cette équation fait connaître les valeurs de m, qui sont au nombre de deux, comme cela devait être; quant à la direction des sections principales, elle est donnée par l'équationf 3) elle-même, qui peut s'écrire sous la forme suivante
On reconnaît que les racines de ces équations sont réelles, car la quantité située sous le radical se met dans la première comme dans la seconde équation, sous la forme suivante
qui est la somme de deux carrés.
On reconnaîtrait aussi sans difficulté que les deux directions données par les racines de l'équalion (5) sont rectangulaires entre elles.
Les deux équations (4) et (5), se rapportantà un système quelconque, jouissent de ee double avantage : i" de donner les propriétés géométriques des rayons principaux de courbure dans un système quelconque, et par conséquent indépendantes de tout système; a" de fournir l'expression de ces rayons de courbure et de leurs directions, propre h chaque système.
61. Mesure de la courbure de la surface dans un système quelconque de coordonnées. — D'après Gauss, et pour des raisons que nous exposerons dans le Chapitre suivant, le produit des deux courbures principales, en un point d'une surface, sert de mesure à la courbure de la surface ; l'on aura donc, d'après l'équation (4), , , sin^o 1 I
Cette équation démontre que la quanlilé auxiliaire -^t qui représente le rapport du binôme — — ■j^ au carré du sinus
Cllil'lTRK V. ^ DE ].,! COURltURK . I!KS SURfACKS, 8[
lies lignes coordonnéos, et que iiogs avons introduite dans nos calculs aux n"' 37 el suivaats, n'est autre chose que le produit des courbures principales de la surface.
Si les élémenls t/o-, da-, des deux lignes coordonnées sont dirigés suivant deux diamètres de la conique auxiliaire, conjugués entre eux, les courbures inclinées des lignes coordonnées projetées sur la normale à la surface sont nulles (n" 54); donc l'équation précédente devient
sin'9
or, dans ce cas, la tangente de l'a l'un des deux rapports — — i — -■> transforme en la suivante
igle tp étant égale (n' la formule précédei
donc la courbure de la surface est égale cl de signe contraire au rapport du produit des deux secondes courbures géodésiques des lignes coordonnées au carré du cosinus de l'angle de ces deux lignes.
Si le système des lignes coordonnées est rectangulaire quel-
conque,
s courbures
étant égales, on a
On peut calculer la courbure de la surface en fonction de la courbure de trois sections normales à la surface suivant dry,
rfo-i, ds; il suffit d'éliminer la courbure -j entre h lions (i) et (7); on trouve ainsi ^sin'gsin'fisin'ffl
i deux équa-
/sina sinp / sin[3 sino
sincf>\/sina sin[3 sîn<p\
Sa LIVIIE I. — PEOPKIÉTÉS GÉNÉRALES DliS COURBES, ETC.
On tire de cette équation les conséquences suivantes : i" En un point d'une surface, le second membre de l'équation précédenie, divisé par le carré du produit des sinus des angles que trois courbes passant par ce point font entre elles deux à deux, restera constant quelles que soient les directions de ces courbes. Cette propriété n'aura pas lieu seulement en un point de la surface, mais en tous les points d'une même ou de plusieurs surfaces pour lesquelles la courbure de la surface ou des surfaces reste la même.
a" Si, en deu\ points d'une même surface, ou de deux surfaces différentes, les courbures de trois sections normales formant entre elles des angles égaux chacun à chacun, sont égales entre elles, chacune à chacune, les courbures de la surface ou des surfaces sont les mêmes en ces deux points.
62. De la courbure sphérique. — On désigne sous ce nom la moyenne arithmétique des courbures principales d'une surface. L'équation (6) donne
Si les éléments da, d(7, des lignes coordonnées sont dirigés suivant deux rayons vecteurs de la conique auxiliaire conjugués entre eux, la formule devient
Dans cette même hypothèse, en remplaçant-? ~ par leurs v: leurs{3), (3')en fonction des secondes courbures géodésiqucf
1 obtient
I — -!- — ) sina^ ^2
Enfin, en raisonnant comme dans le numéro précédent, on trouve la courbure sphérique de la surface en fonction des courbures normales de trois courbes quelconques tracées sur la surface par le point que l'on considère, et des angles qu'elles
oiAi'iïui; V. — Dii i.A coi;kul'ui; dm siiunciis. B;
forment entre elles deux à deux ; l'expression Je cette courbure
Cette formule donne naissance à des remarques analogues à celles qui terminent le numéro précédent.
63. De la différence des courbures principales. — La remarque que nous avons faite à la fin du n" GO prouve que la partie radicale de l'équation (6), supposée résolue, exprimant la différence des racines de celte équation, l'on a l'expression
( ={t- ir)'^^^'f + [7 - (? + ^) '"'"^]'
que l'on peut aussi écrire sous la forme suivante, en ayant égard aux équations ( 3 ) et { 3' ),
Si les courbes t/o-, c/tr, sont conjuguées entre elles, -r devenant nul, on obtient
Dans ce cas, si l'on exprime les courbures -j — en fonction
des deuxièmes courbures geodésiques correspondantes, au moyen des relations
[10I 1 tangy i langy
on obtient l'expression suivante :
84 T.IVUK I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES llliS COURUES, iltC.
Si le sjslème des lignes coordonnées osi l'cclangulaire, l'on a
Lo carré de là différence des courbures principales csl généralement égal à la somme de deux carrés.
64. Indicatrice. —Si, de l'extrémilé'de l'arc ds, on abaisse un (dan perpendiculaire à la normale à la surface, menée par l'autre extrémité, fa projection dn de ds sur cette normale est troisième proportionnelle entre ds et le double du rayon de courbure p de la section normale suivant l'élément ds; l'équation (i) devient donc
in'a sin'3 2sinasin[3 ds' i; r l
(il) 2dn-
ce qui démontre que l'exlrémilé de l'arc ds décrit, autour du point que l'on considère sur la surface, une conique qui est semblable à la conique auxiliaire dont nous avons fait usage, semblablement placée, dans un plan parallèle au plan tangent. Cette nouvelle conique a été appelée par M. Charles Dupin indicatrice de la surface au point dont, il s'agit, parce qu'en ce point elle fait connaître -la nature de la surface, comme il est facile de le voir par la discussion de cette courbe.
Des ombilics. — Lorqu'en un point de la surface l'indicatrice est un cercle, ou, ce qui revient au même, lorsqu'on ce point toutes les sections normales ont même courbure, ce point est appelé ombilic. Pour obtenir des ombilics d'une surface, il faut exprimer que les racines de l'équation (6) des rayons principaux de courbure sont égales; or, comme la quantité radicale de ces racines est donnée par l'équation {9}, il faut égaler à zéro le second membre de cette équation. Comme il est égal à la somme de deux carrés, on a les deux conditions
On conclut : 1" qu'il ne suffit pas que les courbures de deux sections normales faites suivant' les deux courbes coordonnées
ClI.lPirUi; V. — IIK LA COLRlJUBlî DES SURFAIIES. 85
soient égales, il faut que la composante normale de la tourbure inclinée soit égale au produit de la courbure d'une des deux sections par le cosinus de l'angle des lignes coordonnées; ou, ce qui revient au même, que la seconde courbure géodésique de la section (3) soit nulle; 3° que le nombre des ombilics d'une surface est généralement fini , puisque ces points sont déterminés par trois équations, qui sont les deux précédentes, et l'équation de la surface. Si le nombre des équations se réduit à deux, on trouve une courbe située sur la surface dont tous les points sont des ombilics; si ces équations se réduisent à une seule, la surface est telle, qu'un quelconque de ses points est un ombilic.
Si le système est rectangulaire, l'on a - = —, y = —, c'est-à-dire qu'on ce point les courbures de deux lignes coordonnées sont égales entre elles, et que la deuxième courbure géodésique d'une des lignes coordonnées est nulle.
C5. De l'angle de d^iix normales à la surface infiniment voisines. — Par le point A pris sur la surface, on mène une normale extérieure AN, et une droite AN' parallèle à la normale infiniment voisine menée par l'extrémité du déplacement ds. Soit AM la projection de AN' sur le plan normal à la surface mené suivant ds, ces trois droites forment un trièdre
ds rectangle suivant AM, l'angle NAM est l'angle — de contingence de la section normale suivant ds, l'angle MAN' est l'angle Trr de seconde contingence géodésique de l'arc ds, l'angle NAN' est l'angle des deux normales, infiniment voisines, menées par les extrémités de l'élément ds. Nous représentons
ds cet angle par ^- Le trièdre que nous venons de construire
donne la grandeur de cet angle et l'angle e que son plan fait avec le plan normal suivant ds, au moyen des trois équations entre les trois angles de ce irièdre :
NAN'' = N'A m' -f- MÂN ', N'AM = N'AN sins, MAN =: N'ANrusî.
yGoosle
86 LIVBE I. — FROPIIIËTËS GË^ËBALES DES COURBES, ETC.
SI on y remplace ces angles par leurs valeurs, on obtieni
Si l'on a égard aux expressions de -i ^ données par les formules (i)el (2'), que nous écrirons sous la forme suivante :
i— sintp = ((■ 4-yi)sin(3 + ((, -!-/)sin«t, y sinç = -(('+7;)cosp-h((',-Hj)cOsa,
on aura, en élevant au carré et en ajoutant membre à membre,
laquelle donne l'angle de deux normales menées à la surface par les deux extrémités de l'élément ds, au moyen d'une expression symétrique des angles de contingence propre ou inclinée des sections droites faites suivant les lignes coordonnées. Celte équation, en y introduisant les courbures correspondantes aux angles de contingence, prend la forme
l sin'y „ /sinp sinoV /sm» slnp\'
/sinS sin«\ /sin« sinS\
qui se rapporte à un système quelconque de coordonnées curvilignes.
Si le système est rectangulaire, elle devient
Si de plus les coordonnées sont tangentes aux sections prin cipales, on obtient
qui est une formule connue.
(ilUPITBE V. - llli LA LOUKULIIE DUS SURKACIiS. O7
Si le système étant oblique coïncide avec deux directions conjuguées de la conique auxiliaire, - est nul, el l'on obtient l'équation
que l'on peut écrire sous la forme suivante, par suite des relations qui existent entre r eftl*, r, el -(Pi (63) :
Ces dîl'férentes formules, se rapportant à divers systèmes
(le coordonnées, font connaître la courbure tt- en fonction
des courbures normales propres ou inclinées des lignes coordonnées, et des angles que l'élément ds fait avec ces lignes.
Il est facile de voir que si le déplacement ds prend toutes les positions possibles sur la surface autour du point dont il s'agit, et qu'on porte, à partir de ce point, snrla direction de l'élément ds, des longueurs proportionnelles à la valeur correspondante de W, l'extrémité de cette longueur décrira une conique qui sera représentée dans le système polaire par une des équations précédentes.
Celte conique auxiliaire G, est concentrique avec la conique C, que nous avons considérée au n" 55, et ses axes coïncident en direction, mais non en grandeur.
On reconnaît aisément que si deux déplacements ds,, ds, sont conjugués par rapport à ta conique auxiliaire C, et qu'on appelle 9 l'angle de ces deux déplacements, Wo, Wt les valeurs de W correspondantes ; et V„ Vi les valeurs correspondantes de V, l'on obtient, au moyen des équations (lo.) et [ro), les valeurs suivantes
w; " ~ Vocosû ' w; ''"" V, cos e '
88 LIVRE I. — rROPHlÉTÉS GÉHÉRALES DES C
desquelles on déduit les deux retalions
Ainsi le produit ^ ^^ correspondant à deux déplacements ds„, ds, conjugués dans la conique C est constant et égal à la courbure de la surface.
66. De la plus courte distance de deux normales infiniment voisines. — La plus courte dislance dt de deux normales infiniment voisines est perpendiculaire à la fois à la direction de ces deux normales; donc elle est perpendiculaire à la faceNAN' du trièdre que nous avons considéré dans le numéro précédent; soit -/i l'angle que celte plus courte distance forme avec le plan normal mené à la surface suivant ds, les deux dernières équations (12) deviendront
op, si l'on appelle a', p' les angles que la plus courte dislance dt fait avec les lignes coordonnées da, d(7,, l'on a les deux équations
smqjsinï) =
a sin j3' a'cos(3
-D'après cela, les valeurs de -j tï7 •^ p W
i sin'ffl . / . - sine
= COSa COSp — COSp COSa,
donneront
( . sinjS' \
( -^ = - sintp l^cosp ^^ + cos« ^ j ;
or, les équations (i3) peuvent s'écrire sous la forme
; sin'o , „ /sinS sina\ , /sina sinS\ |— ^= sin(3 (—7^ H 7-) + sina — ; 1 v^ 1
, /sinfl sina\ /sina sin3\
r.UAriiuii V. — itB LA counnuRii dks suwv,u!i;s. 09
iiieiili liant ces 6c|Lialions avec les équations (i5'), nous Irou-
■ sin3' =
Ces deux équations l'ont connaître les angles «', p que la plus courte distance dl fait avec les deux lignes coordonnées dT, da„ en même temps qu'elles donnent la signification géométrique de deux binômes, qui sont les seconds membres des équations (16), el qui se présentent souvent dans la théorie. Pour obtenir l'expression de la plus courte distance dt, il suffit de projeter une ligne quelconque, par exemple ds, comprise entre les deux normales, sur cette plus courte dislance ; on obtient ainsi
dt n^ ds cos-rt - ■— ds
67. Point central, sa distance au plan tangent. — Le point où la plus courte distance dt rencontre la normale est appelé point central; calculons la dislance de ce point au plan tanfj'enl (Jlg. 7). Soit A le point considéré sur la surface, A' le
point inrinimeul voisin, AC la direction de la plus courte distance th. Si l'on mène suivant AC un plan normal à la sur-
yo LIVRE I. — PROPRIÉTÉS GÉKÉRALE8 DES C
face, il ronconirera la normale A'D au point central D. En appelant A le segment CD, le triangle CA'Û donne t^ ^ -^ , donc
*''' 1~ Wsin'/i ^^V^^ psw'n'
Si l'on veut avoir la surface engendrée par la plus couno dislance de deux normales infiniment voisines, lorsque la seconde prend toutes les positions, par suite de la rotation de ds autour du pied de la première, en prenant pour axes coordonnés des ar et des^ les deux tangentes aux deux sections principales, et pour axe des E,la normale, les deux équations ( [6), rapportées au système rectangulaire de deux sections principales, donnent, par la division,
- =^ tansa' = — cota,
et la deuxième équation (i^) dans le même système, en remplaçant A par z, devient
L'élimination de a entre ces deux équations donne l'équation de la surface conoîde cherchée
On déduit facilement de ce qui précède que, pour deux directions de ds, conjuguées entre elles dans la conique C, les distances A et A, correspondantes à ces directions sont entre elles comme les rayons de courbure des sections normales faites suivant ces directions.
68. Distribution des normales autour d'un point. — Cherchons l'intersection de ta normale infiniment voisine de celle considéréeavecleplan normal mené suivant l'élément rfffi d'une des deux lignes coordonnées. Soit (/g. 7 } ce plan normal ABE,
CnAPlinE V. — DE LA COURHURE DES SURFACES. 9I
E la trace de la normale A'D; appelons du, la longueur AB, et BE = + â„ le triangle BA'R d'une part et le triangle BAA' de l'autre donnent
BE "~W' cos{(3 — ■/]) ~ sïôp ""ôôsïi"
On déduit de ces équations
sinP^ cos(P-.)
, . , COSï) ,
iq) du, = ■■■■■■ ; ■ -ris,
* ^ cos([î — ïî)
Si l'on développe le cosinus, en avant égard aux équations (i5), l'on trouve pour les équations (iS) et (19)
„, sinp __ sinp cosp
ds '
Si l'on substitue dans ces équations les valeurs de nées par les équations (i3), on trouve t- 5in'ysin(3 /
/ du, sin'qjsinp
cosqj\
nctsinp
Les valeurs de ô, et de du, sont les coordonnées rectilignes orthogonales de la trace de la normale infiniment voisine avec le plan normal mené suivant dfj,, de sorte que si l'on élimine a et (3 de ces deux équations, au moyen de la relation
i)1 LlïKi: I. — PUOPBIÉTÉS (lÉNÉRAlES U1!S COUIIBES, ETC.
a-i-Çiz::(f, on aura la courbe décrilu par cette trace dans ce plan normal, lorsque l'élément ds est connu en fonction de a et de (3, ce qui revient à dire que l'on se donne la courbe décrite par l'extrémité de cet élément variable, tournant autour de l'autre extrémité.
Lorsque cet élément décrit un cercle sur la surface, cette courbe est du quatrième degré, comme on le verra plus bas.
Mais quelle que soit la courbe décrite par ds, si le système des coordonnées da, dir, est orthogonal, et coïncide avec les directions des sections principales, les équations (18") 61(19") donnent
le lieu des traces dans te plan de la section principale qui a pour courbure — est une parallèle à la tangente de celte seclion, située à la distance cio de celte tangente, et l'on trouverait de même que le lieu des traces dans te plan de l'autre sec tion principale est une parallèle à la tangente à cette section, située à la distance ro, de cette tangente.
Ainsi, quelle que soit la courbe infiniment petite décrite par ds, considéré comme rayon vecteur variable en grandeur et en direction autour du point pris sur la surface, la normale menée par chaque point de cette courbe s'appuie à la fois sur deux droites parallèles aux tangentes de ces sections, menées chacune par le centre de courbure dé l'autre section. Ce théorème est dû à Sturm.
Si la courbe infiniment petite décrite par ds est une ellipse, ayant les demi-axes a et b, dirigés dans le même sens que ceux de ta conique auxiliaire C, la surface réglée décrite par la normale est donnée par l'équation
yGoosle
CHAPITBE V. — DE LA CODRBURE DES SURFACES. ^S
au plan des xy, on trouve des ellipses; deux de ces ellipses dégénèrciiL en lignes droites, qui sonl les deux direclrices de la surface, et deux sont des cercles. Cette dernière circonstance a lieu lorsque l'on prend pour distance du plan sécant, l'une des deux valeurs de z données par les deux équations
L'une de ces conditions exige que le plan parallèle au plan des xy soit compris entre les deux centres des courbures principales, et l'autre que le plan soit situé en dehors.
Quant à la courbe interceptée sur la surface réglée par un plan normal mené par un point considéré, et formant avec la section principale, dont la courbure est — i un angle quelconque 9, elle est de quatrième degré, et son équation, rapportée aux coordonnées rectangles z et la distance t d'un point à l'axe des s, est
G9. Des traces associées de la normale infinimenl voisine sur deux plans normaux, — Nous appelons traces associées de la normale les intersections de cette normale avec les deux plans normaux à la surface menés par les deux éléments da, da, des lignes coordonnées. En appelant toujours du, et ô, les coordonnées de la trace de la normale faite dans le plan normal suivant d<ri, et du, S les coordonnées de la trace de cette même normale sur le plan normal mené suivant du, on déduit sans peine des deux équations contenues dans le type [18) les deux équations
sîncp sin[3cosa sinacos(3
siny . fi^ i\
lesquelles donnent la courbure -î et la seconde courbure géo-
94 LIVRE I. — PHOPltlIÏTÉS GÉNÉRALES DES COURBES, ETC.
désiquevT d'une section normale faite suivant ds en fonction
des distances â et ë, au plan tangent, des traces que la normale menée à l'extrémité de cet élément fait avec les deux plans normaux menés suivant les éléments des lignes coordonnées. On déduit de celte formule
sin'q) sin'iz sin'ô asinasinS
Ces formules nouvelles sont très-générales et renferment, comme cas particuliers, toutes les expressions déjà données de p, de V ei de W; elles ne laissent rien à désirer sous te rapport de la simplicité.
Les équations [19') comparées entre elles donnent l'expression
du, sînp du sina
'ds "èT^'ds ~T"
Les équations (18"] peuvent s'écrire sous les deux formes suivantes :
sina . , /sinq) sintp cos®\
sin[i . /sin^ sinip cosçX
Or, si l'on multiplie l'une par l'autre, on obtient
I sin'9 sinip/sin<p cos<))\ sintp /sinip cos(p\
fs'xnf cos9\ /sinç cosy'i
équation que l'on peut aussi écrire comme il suit
Ces équations expriment que les dislances au plan tangent des traces d'une normale sur deux plans de deux sections normales invariables satisfont à la division homographique,
CHAFITBE Y. — DE LA COURBURE DES SURFACIiS. gO
pourvu que celle normale, dans ses différentes iiosiiîons, soit infininienl voisine du point considéré.
Si l'on élimine l'angle « dans les cqualions [19'"). on trouve
du' du __ / ' ' y.
Tslds' >s]ds' ~~ \roi sjl/ '
donc, si ds reste constant et que par les deux traces on mène des plans perpendiculaires aux deux tangentes des sections principales, l'enveloppe de la ligne d'intersection des deux plans est un cylindre elliptique.
Soit Ô5 la distance au plan tangent de la trace de la même normale avec un plan normal mené suivant un troisième élément da^, formant avec ds l'angle j3, et l'angle (da,, dd,] avec dffi, l'on a l'équation
sin(tff, da,)sw{diT, da;) i^ is\(ds, diT)shï{dc„ da,)
sin{ds,di7,)s\Tt{d'7„ da)
70. Des lignes de courbure. — On appelle ainsi les lignes tracées sur la surface telles que si, en deux points intiniment voisins pris sur une de ces lignes, on mène deux normales à la surface, ces deux normales se rencontrent, ou du moins leur distance est un infiniment petit d'ordre supérieur.
Pour avoir l'équation des lignes de courbure, il suffit d'exprimer que la distance de deux normales infmiment voisines est nulle; or, si l'on se reporte à l'expression de cette dislance trouvée à la fin du n" 66, on voit que ds n'étant pas nul, ni l'angle W des deux normales, on trouve pour condition ç ^= o, c'est-à-dire que la seconde courbure géodésique
est nulle, et réciproquement. Nous avons déjà vu qu'il existe deux directions pour lesquelles la seconde courbure géodésique est nulle, et que ces deux directions sont celles des sections principales. Donc les directions des deux sections principales en un point sont celles des deux lignes de courbure en ce point. Ce qui revient à dire qu'en ce point les deux sections principales et les diîux lignes de courbure sont tan-
96 LIVHE I. — PROrUIËTËS GËNËIt4LES DES C
génies. Si l'on développe la condilion ^=:o, en remplaçant
les sinus par les arcs coordonnés proportionnels, on trouvera, pour l'équation des lignes de coLirbure dans un sjstome quelconque de coordonnées curvilignes,
Cette équation fait connaître toutes les propriétés et renferme toute la iliéorie des lignes de courbure. On voit qu'en chaque point il y a deux lignes, puisque l'équation est du second degré, et l'on voit aussi que ces deux lignes se coupent à angle droit. En' effet, si l'on appelle- nij et m, les. deux valeurs du rapport ■— qui satisfont à cette équation, l'angle 9 des deux lignes est donné par la formule
sînofm, — m„) " (m. 4- m,)eos<p -h(i-i-m„m,)'
or, en remplaçant in„ et m, par leurs valeurs, on trouve un dénominateur nul.
Lignes de courbure communes à deux surfaces. — Soient deux surfaces F et F, qui se coupent suivant une courbe E, et sous un angle y variable d'un pointa un autre de la courbe E; cherchons la variation de l'angle y lorsqu'on passe d'un point A à un point A' infiniment voisin pris sur l'intersection commune. Soient A», A «îles deux normales extérieures aux surfaces F, F,; A'n', A'tt', les deux normales infiniment voisines; A'V, A'V, les projections de ces deux dernières sur les plans normaux «AA', «,AA'. L'angle des deux normales au point A étant y, il devient y+dy lorsqu'on passe au point A'. Or ce dernier angle est la somme des trois angles w' A'V, V'A'V',, V, A'n',; le premier et le dernier sont les angles de deuxième
. . . ds ds , „,
contingence geodcsique y' ît ^^ ' mtersection E par rapport
aux deux surfaces F, F,; le second ne diffère de l'angle y que par les infiniment petits d'ordre supérieur au premier; on a
eu* PITRE (
donc l'équation
THÈORiiHB 1. ~ Lu variation de l'angle de deux surfaces, quand on passe d'un point à un autre infiniment voisin sur la ligne d'intersection , est la somme des angles de deuxième contingence géodésique de l'intersection par rapport aux deux surfaces.
On en déduit la variaiion finie quand on passe d'un point à un autre de rinlerseciion. Ces deux points correspondant aux valeurs Sg, s, de l'arc s de cette intersection el aux valeurs y,, y, (!c y, on obtient, par intégration.
{"•ds r'-ds
ThéOrIsme II, — Si les deux surfaces se coupent sous un angle constant et que la courbe E d'intersection soit une ligne de courbure par rapport à la surface F, elle sera aussi une ligne de courbure par rapport à la surface F,.
En effet, dy el ^ étant nuls, le théorème I exige que ^
soit aussi nul. Donc ....
Les propositions réciproques de ce dernier itiéorème sont également vraies.
Théorème 111. ~ Si trois surfaces F, F,, Fî se coupent deux à deux orthogonalemenl, elles se coupent aussi deux à deux suivant leurs lignes de courbure.
En effet, de ce que les trois surfaces se coupent deux à deux sous angle constant, la somme des angles de deuxième contingence géodésique de chaque ligne d'intersection par rapport aux deux surfaces qui la déterminent est nulle par suite du théorème I, ce qui fournil trois équations entre six inconnues. De ce que les trois lignes d'intersection forment deux à deux des angles droits, la somme des angles de deuxième contingence géodésique de deux lignes d'interseclion par rapport à la surface sur laquelle elles se trouvent est aussi nulle,
go LlVItH I. — PROPRIÉTÉS UÉNÉBAIES l>ES GOUHBES, ETC.
d'après le n" 58, ce qui fournit trois nouvelles équations entre les six mêmes inconnues. Or ces six équations sont linéaires, binômes, privées du terme constant, entre six inconnues. Donc chacune de ces inconnues est nulle, ce qui exige que les lignes d'intersection soient chacune une ligne de courbure par rapport aux deux surfaces qui la déterminent. Donc. . . .
Nous nous occuperons plus loin de la recherche des lignes de courbure d'une surface donnée.
71. Des tangentes conjuguées. ~ Si, par deux points infiniment voisins A, A', pris sur une surface, on mène deux plans tangents T, T', l'intersection de ces deux plans est une tangente conjuguée de la tangente AA'. La théorie des tangentes conjuguées a'été introduite dans la Géométrie par M. Charles Dupin.
THËORfittE. — Deux tangentes conjuguées sont parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice.
En effet, le plan P de l'indicatrice du point A passant par le point infiniment voisin A' est parallèle au plan tangent T en A ; donc, les intersections de ces deux plans avec le plan T' tangent en A' sont parallèles; or, l'intersection des plans T' et P est la tangente à l'indicatrice, donc elle est conjuguée du rayon vecteur mené en A', lequel, à la limite, se confond avec la tangeiite AA'. Donc ces deux tangentes conjuguées sont parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice.
Corollaire I. — Si une tangente i est conjuguée d'une autre tangente t' en un point A de la surface, réciproquement la tangente t' sera conjuguée de la tangente t, puisque la construction des deux tangentes dans ce second cas conduira à deux lignes parallèles à deux diamètres conjugués.
Corollaire If. — Si une courbe C est tracée sur une surface et qu'en chacun de ses points on mène les plans tangents à la surface, on obtiendra une surface développable dont la génératrice recliligne sera en chaque point conjuguée de la tangente à la courbe qu'elle rencontre en ce point.
Corollaire III. -— Si la courbe G est une ligne de courbure de la surface F, elle sera aussi une ligne de courbure de la surface développable. En effet, sur cette dernière, la tangente
ciiAPirnE ï. " DE LA counEURE des surfaces. 99
à la courbe et la généralrice sont deux tangentes conjuguées orthogonales. Donc. . . .
Corollaire If. — La courbe G a mêmes composantes normale et langenlielle de sa courbure propre par rapport à la surface F el par rapport à la surface développable, puisque les plans tangents et normaux à ces deux surfaces suivant l'élément ds de la courbe sont les mêmes, el que d'ailleurs la longueur de l'élément ne cbangc pas. Il en est de même des composantes normale el tangentielle de la courbure inclinée de la courbe C suivant les directions conjuguées.
Corollaire V. — Si l'on développe la surface développable sur le plan tangent à la surface F en un point de la courbe C, les composantes tangcnlielles des courbures propres ou inclinées suivant les génératrices, ne sont pas altérées, puisque les angles tangeniiels ne sont pas altérés, et que l'élément ds reste invariable pendant le développement.
Corollaire VI. — Si la courbure tangentielle de la courbe C est nulle, la courbe C se changera en ligne droite sur la surface développable après le développement; et si celte courbure est constante, elle se changera en cercle sur la seconde surface développée. Généralement, si la courbure tangentielle est seulement fonction de l'arc s, et de l'angle de contingence tangentielle, la courbe obtenue par le développement de la seconde surface jouira de la même propriété.
Corollaire Fil. — Si deux courbes C, C tracées sur une surface sont tangentes, ou ont un contact d'un certain ordre, les deux surfaces développables qui enveloppent la surface suivant ces deux courbes seront aussi tangentes, ou auront un contact du même ordre, suivant la généralrice menée au point de contact.
72. Condition pour que deux courbes C et C tracées sur une suiface soient conjuguées. — Deux courbes G et C sont conjuguées lorsque les tangentes au point d'intersection sont conjuguées. D'après ce que nous venons d'établir, ces deux tangentes sont parallèles à deux diamètres conjuguées de l'indicatrice; ceci entraîne la condition (n° 57) que la composante
yGoosle
100 LIVRE 1. — PROI-RIÈTÊS GÉNÉHALES DES COURBES, ETC.
normale ^ <le la courbure îoclinée de l'une des deux courbes par rapport à Vautre soit nulle; donc, en remplaçant dans l'équation (2) du même numéro, les rapports -v-jjî ■ ,-.' <
par les rapports (-7-^) ' [-j-^] ^^^ ^^cs coordonnés qui se rapportent aux deux courbes, on aura la condition suivante :
Cette équation servira à reconnaître si deux courbes tracées sur une surface sont conjuguées entre elles; et lorsque l'une des deux courbes sera donnée, elle sera la différentielle de l'équation de la courbe conjuguée.
Lorsque les lignes coordonnées sont conjuguées, cette équation devient
I /da,\ /d<7,\ i
Si l'on demande un système de deux courbes conjuguées se coupant sous un angle donné 6, Il faudra que les rapports
( T~] '(t^) ' '^uel'onreprésente, pour abréger, parmi et m,, satisfassent à la condition exprimée par tang6, au n''70; de sorte que si l'on élimine entre cette condition et la première, que nous avons écrite dans ce numéro, le rapport m„ ou bien
(t^I ' ''" fouvera pour condition générale des courbes conjuguées se coupant sous l'angle 9, l'équation ,' /</gA'r sin(y — 9) sinS
l UW.L '■> "^ '
gA'r sin((p — 6) sin9 "|
^-cosesinipl
sin(,H
Cette équation doit renfermer, comme cas parliculicr, I
— DE LA COURBURE DES SURFACES. lOI
quation des lignes de courbure qui correspondent à la valeur
de 6 égale à-; et on retombe en effet sur cette équation
lorsqu'onintroduitcettehypotbèse dans l'équation précédente. Si les coordonnées sont conjuguées entre elles, l'équalîon précédente devient
Si les coordonnées sont 1ns lignes de courbure de la surface, on a
'RIÉTÉS GÉNÉRALKS 1>KS f
