DES POLYGONES GÉODÉSIQUES

73. Existence d'un principe fondamental relatif aux éléments 'tangentiels. — Les propositions que nous avons démontrées dans les Cliapitres qui précèdent sont de deux sorles : les unes se rapportent aux éléments tangentiels des courbes tracées sur la surface, c'est-à-dire aux projections des éléments des courbes sur le plan tangent à la surface; les autres se rapportent aux éléments normaux de ces courbes, c'està-dire aux projections de leurs éléments sur le plan normal à la surface. Or toutes les propositions d'e la première espèce peuvent se condenser en un seul principe géométrique, relatif à la somme des angles d'un polygone géodésique, en entendant par là un polygone dont tous les côtés sont des lignes géodésiqucs. Ce principe est pour la Géométrie des surfaces ce qu'est pour la Mécanique le principe des forces vives, dominant, comme lui, tous les faits d'une même catégorie dont ils sont la conséquence Immédiate. C'est l'illustre Gauss qui l'a énoncé, et ce géomètre ne s'est point mépris sur la nature de ce principe, lorsqu'il a écrit ces lignes (*) : « Ce théorème, si nous ne nous abusons point, peut être compté au nombre des plus élégants de la théorie des surfaces courbes; » il auraii-pu ajouter qu'il est aussi un des plus féconds.

Il se présente comme conséquence des formules, déjà établies, qui se rapportent aux courbures langenlielles des lignes tracées sur les surfaces, et cela de plusieurs manières; on peut aussi l'établir directement. Mais comme les formules relatives aux courbures normales sont indépendantes de ce principe, au lieu de commencer par la démonstration du principe

CHAPjrHE VI. — BIÎS POLIGONES GÉODÉSIQUES. lo3

rie Gauss, comme nous aurions pu le faire, il nous a paru préférable de suivre une marche qui donnât à la fois et les théorèmes relatifs aux courbures langentielles et ceux qui sont relatifs aux courbures normales. Mais, dans les applications, il convient de faire usage de ce principe, qui donne sans effort une des équations de la question.

TÎP. Transformation sphérique des lignes tracées sur la surface. — Soit une ligne s tracée sur la surface; des différents points de cette ligne menons des normales dans le région extérieure de la surface; du centre d'une sphère de rayon égal à I, menons des parallèles aux normales, par un déplacement effectué dans le même sens. On déiermine ainsi sur la sphère une courbe qui est dite la transformée sphérique de la courbe tracée sur la surface, et qui en est comme l'image scmhlablement placée, c'est-à-dire que, lorsque sur la surface deux lignes partent d'un même point, dans deux directions, les lignes correspondantes partent d'un nième point, et sont semblablement placées, ce qui exige que la lignesituée à droite de l'autre sur la surface ait sa transformée située à droite de la transformée de la seconde ligne, quand on se placera de la même manière sur les deux surfaces, dans leurs régions extérieures.

Transformée sphérique d'une ligne de courbure. — Nous démontrons les propositions suivantes ;

1" Les arcs infiniment petits correspondants de la ligne de courbure et de sa transformée sont parallèles. En effet, les normales à l'extrémité de l'arc dtr et de son transformé da' sont parallèles, et comme les preniières se rencontrent et ne diffèrent en longueur à partir du point de rencontre que d'un înfiment petit, il résulte que les deux arcs sont parallèles, el que les plans des secteurs correspondants sont parallèles.

2" Deux plans normaux à la surface et à la sphère suivant des arcs correspondants sont parallèles. Cela résulte de la proposition i",

3° Deux arcs correspondants du', da sont liés entre eux par

la relation - — = — > îïïo étant le rsjon principal de courbure

de l'arc da.

4" Les angles de contingence lanfzcniiello de ki oourbc t et

lO-'f (.IVRE 1. — PROPRIÉTÉS GÉNÉHAI.ES DES COUDDES, IITC.

de la Iranstormée o-' sonl égaux en des points correspondanis. En effet, deux plans normaux infiniment voisins de la courbe c sont parallèles aux plans normaux de la courbe tr' aux points correspondants; or l'angle des deux premiers est égal à l'angle des deux derniers ; ces deux angles sont les projections tangentiellesdesanglesdecontingencedes deux courbes. Donc...

5" La surface développable, lieu des normales à la surface aux divers points de la ligne de courbure o-, et la surface conique, lieu des rayons de la sphère parallèles à ces normales, sont telles, qu'après le développement sur un plan des deux surfaces, les angles des génératrices correspondantes sont égaux.

6" A un double système de lignes de courbure de la surface F correspond un double système de lignes sphcrii^ues orthogonales.