Mesure de la courbure d'une surface

TnËoiiÈHE. — Quel que soit le contour infiniment petit tracé autour d'un point sur une surface, le quotient de l'aire du contour sphérique correspondant par l'aire du premier contour est

constant et égal à l'inverse du produit des rayons princi-

l'ipaux de courbure.

En effet, soient rfÛ, rfii' les aires de ces deux contours, elles peuvent être décomposées par le système des lignes de courbure d(7, drr, et par les lignes sphériques correspondantes de', d-j\ en quadrilatères orlbogonaux infîniment petits. Les aires de deux quadrilatères correspondants auront pour expression dada,, du'dtj',; donc, en vertu dn tliéorème III du numéro précédent

, . , , rfo-rfc-, (la lia, — î

ra, Toi

et en faisant la somme des quadrilatères correspondanis do |)art et d'autre, l'on auro

<;'est à cause de l'invariabilité du rapport de dil' à du pour un point de la surface, lorsque le contour de ce point est

CIUI'ITKE VI. — DliS rOLÏGONES GÈODÉSIQUES. ioS

quelconque, mais intiniment petit, que l'on prend, d'après Gauss(*), ce rapport pour mesure de la courbure de la surface de ce point. Telle est la démonstration annoncée au n" 61. Si l'on considère û' et £i les aires de deux contours finis cor-

Fcspondants, l'on aQ.'= i j ■ étendue à toute la surface

du contour, et cette intégrale double, qui joue un rôle important dans la Itiéorie des lignes tracées sur la surface, est appelée ta courbure intégrale de la suiface dans toute l'étendue du contour, nous l'appellerons aussi aire sphérique du contour,

76. TnÉOBÈME DE Gauss. — Dans un polygone de n côtés géodésiques, l'aire sphérique du polygone correspondant est égale à la somme des angles de ce polygone , diminuée d'autant défais deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux.

Démontrons d'abord le tliéorème pour le triangle géodésique A, B, C. Il s'agit de calculer l'aire sphérique Q.' de ce triangle. Prenons, pour système coordonné sur la surface, les arcs géodésiques menés du point A {^g. 8) et l'angle e qu'un

arc géodésique o- fait avec le côté AB. D'après cela, l'élémenl de l'arc orthogonal des rayons géodésiques sera d(y, — H, di, IIi ctani une fonction de <7 et de e ; on aura donc

Or, si l'on applique la formule (9'") du n" 41 cl la formule

C) Rechercha mr les Swfacci, § VI.

tOb LIVRE 1. — IMlOPrtlÉTÉS UÉNÉRALES DES tOUnnES, ETC.

(8-") (in n" 29, on a

Si l'on a égard à la première équation, oi qu'on intègre la v leur de Q,' par rapport à du, l'on a

Or, pour (T = 0, l'on a

ddu, , . . j. /</H,\

Done, l'iniégrale devient, en ajani égard à la seiionde des équations (i),

mais, d'après la formule (6) du n" i7, l'on a, dans le système de coordonnées géodésiques, a étant l'angle qu'un rayon géodésique quelconque fait avec la courbe BC, l'équation dx = I, car l'angle <f est droit, et la courbe BC étant géodésique, I esl nul. Substituant cette valeur de Ii dans l'équation précédente, ou obtient

(2) ±!.l' = (7î-A-lt-Ç). C.Q.F.D.

Donc, la somme des angles d'un triangle géodésique tracé sur une surface quelconque est supérieure ou inférieure deux angles droits d'une quantité qui a pour expression l'aire sphérique du triangle géodésique, suivant que la surface concavo-concave ou concavo-convexe.

On passe sans difficulté de ce cas à celui d'un polygone quel conque géodésique en décomposant ce polygone en triangle; géodésiques. La démonstration que nous venons de donner esi celle de Gauss, toute basée sur les deux équations du préseni numéro.

77. Principe plus général. — Le théorème de Gauss ainsi qu'une inlinilé d'autres se présenleiU comme conséquences