CHAPITRE VI. — LES rOI.YGOKF.S GÉOUÉSIQUES. IO

d'un ihéorciiie encore plus général. Transcrivons les deux équations (lo)du n" 37 :

Si nous intégrons la première équalion entre deux valeurs de p„ p'°' el p''', el le résultat obtenu entre deux valeurs de p, pC) elp''', et qu'on représente par ll'{^, l'intégrale double du premier membre, par A, B, C, D les angles du quadrilatère curviligne correspondant aux limites que nous venons de fixer, et

par </(Ti,ô- l'arc et la projection langentielle de la courbure

d'une quelconque des lignes coordonnées qui limitentle quadrilatère, on aura {Jig. 9)

igné i du

dernier terme s'étcndant à tout le contour, et

l'indice i devant être zéro ou 1, suivant que l'on intègre le long des lignes de la série p, ou de la série p.

En opérant de la même manière sur la seconde des équa lions {1) du présent numéro, et en représentant par y- la projection tangentiellc de la courbure inclinée d'une quelconque

Io8 LIVKE I. ■ PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURHBS, ETC.

des lignes coordonnées qui lerminent le contour, on aura

(5) U;^) = 4.(A}->];(t:-B) + ^(C)- ^(Tt-B) + j"^ '^■{<f),

dans laquelle le "signe I du dernier terme se rapporte à tout

le contour, pourvu que l'indice i soit fait égal à zéro ouà i, suivant que l'on intègre le long des lignes de la série p, ou de la série p.

Il est évident que les deux théorèmes (4) et (5) jouissent de la plus haute généralité, et s'appliquent à toutes les formes de la fonction <!f.

Si le quadrilatère est géodésique, les intégrales contenues dans le dernier terme de la formule (4) disparaissent, et l'on a

ff4^f----^i^) + '^^''-^^-^^^^ + '^^''-'^^'

dont le second membre ne dépend que de la fonction 4" et des angles du quadrilatère géodésique.

78. Application des formules précédentes. — i''Si l'on suppose que la fonction i}' de l'angle cp est log sin œ, n" 38, la formule (4) rlu numéro précédent devient

i C f '^^'^'^' / COSM cosv \

\jj sin'9 \'M:^âJ)

"' j , HinA.sinC rd<7i

! " sinB.smD J Bj ^

Cl si le quadrilatère est géodésique, on obtient

fdcjdlT, /COSK COSC'X

„ r drjdfT, /cosK cos:' \ sJnA.sJnG

' ' j sin'f ^^ÂT^^JX"/ sinB.sinD'

2" Si l'on suppose que la fonction ^ est logtang - ((p), n''38, on trouve la formule

! r rdada. / cosH, coscA

I =log(lang^A.tang^B. tangue, Ung^l))+J^j|^-

yGoosle