CHAPITRE VI, — DES POLYGONES OfiODÉSIQIiES. log

Dans cette dernière formule, les intégrales du second membre disparaissent si le quadrilatère est géodésîquc.

Nous avons choisi de préférence, pour nos applications, ces deux formes particulières de la fonction i[j, parce qu'elles nous sont imposées en quelque sorte par les équations (6' ) du n-ST.

3" En supposant le quadrilatère géodésique et la fonction 4'{'?) égale à 9, on a le théorème de Gauss, pour le quadrilatère géodésique; ensuite, en supposant un côté infiniment petit, on retombe sur ce théorème appliqué au triangle géodésique, et on s'élève enfin au cas d'un polygone géodésique quelconque, comme on l'a indiqué au n"76.

79. Théorème de M. Bonnet. — Ce théorème donne l'expression de l'aire sphérique d'un polygone quelconque de n côtés. Il se présente comme une conséquence intuitive de celui de Gauss. En effet, si par les différents points inQnimeni voisins des côtés du polygone on mène des arcs géodésiques tangents en ces points à ces côtés, l'on obtiendra un polygone géodésique. Si l'on appelle If la projection tangentielle d'un angle quelconque de contingence d'un de ces côtés, cet angle sera le supplément de l'angie intérieur correspondant; on aura donc, en appliquant le théorème de Gauss, au polygone ainsi construit, et en appelant A, B, G, D, E,... les

s'étendant à tout le con-

angles finis du polygone, le signe \

rrji^=A+iî+c+D+E+...-yi,--

Ce théorème se démontrerait directement au moyen de la formule (4) du n^TT, en y faisant i]j{9) égale à 9 et en passant au cas d'un polygone quelconque, comme on vient de l'indiquer à la fm du numéro précédent.

80. Théorèmes semblables. — Les formules que nous avons établies aux n"' 38 et 39 donnent naissance à des théorèmes semblables.

Écrivons la seconde des équations (10) du n" 38, nous au-

110 P.IVRE !. — l'ROPKlfiTÉS GÉNÉRALES DUS COL'HUES, ETC.

rons

da lia, sin<o , , , , 1 — cl«d,cf> -t-d,J + dj,.

Si l'on intçgre les deux membres, dans toute retendue du quadrilatère limité par les courbes qui ont élé définies au commencement du n'??, on aura

dans laquelle le terme \ J est la somme des projections tan-

gentielles des angles de contingence inclinée des deux côtés opposés du quadrilatère formé par quatre lignes coordonnées,

el\ J( est la somme des projections des angles de contingence

inclinée des deux autres côtés opposés. De là on déduit :

TEÈORtitE. — Dans un quadrilatère formé par les deux lignes d'une série d'un système de coordonnées, coupées par deux autres lignes de l'autre série, la somme des angles, augmentée de la somme des projections langentielles des angles de contingence inclinée des quatre cMés par rapport aux courbes de la série qui coupent ces côtés, est supérieure ou inférieure à 36o degrés, et l'aire sphérique du quadrilatère égale la différence.

Si nous écrivons la formule

et que nous intégrions, nous obtiendrons, en représentant par 2IJ' l'intégrale double du premier membre,

ou bien

i!' c^'^'hi T'''"^- r''""^ r'''--

chaque intégrale s'étendani aux deux côtés opposés du quadrilatère.

CBAriiHË VI. — DES roi.YGONES nÉiiCÉsiQLEs. m

Cette équation donne

THÉonitiiE. — Le double de l'aire sphérique d'un quadrilatère formé par quatre lignes coordonnées est la somme des projections tangentiel/es des angles de contingence propre diminuée de la somme des projections langentielles des angles de contingence inclinée des côtés du quadrilatère.

Il est bon de remarquer que, dans ces différentes formules,

une somme telle que \ I, dépend d'une intégrale de la forme

/ ^i qui est connue en fonction de p, py dans chaque système

des coordonnées; or il peut se faire que quelques-unes de ces intégrales viennent à s'annuler par la nature du système ou bien par celle du contour que l'on considère. Ainsi le théorème de Gauss pourra exister pour d'autres polygones que les polygones géodésiques.

81, Conséquences des théorèmes précédents. — Appliquons les théorèmes précédents à quelques exemples : i" Considérons un polygone de n côtés a, h, c, ... formés d'arcs de courbes à aire maximum. Noas verrons plus loin que ces courbes sont caractérisées par cette condition que leur courbure tangentielle est constante. Soient — • — '■■ ■ les courbures tangenlielles des côtés a, 6, c, . - . , le théorème du n" 7!> donnera

Dans le cas général d'un polygone formé d'arcs de courbes quelconques, ce même théorème aura lieu, pourvu que —^

— ,■.. représentent les courbures moyennes des côtés a, b", c,....

2" Si la surface devient une sphère, la formule du n" 79 donne l'aire du polygone tracée sur la surface. Si le polygone est formé d'arcs de grands cercles qui sont les lignes géodésiques de celte surface, on trouve le théorème connu sur l'aire de ce polygone.

112 LIVRE I. — PHOPniËTËS GËNËBALES DES COtlBBES, ETC.

3° Si la surface est un plan,, ou une surface développable, ort obtient une relation entre les angles du polygone et la somme des projections tangeniielles des angles de contingence des côtés de ce polygone, dans le cas où ces côtés sont des arcs de courbes quelconques; si ces arcs appartiennent à des lignes géodésiques, on retrouve la relation qui existe entre la somme des angles d'un polygone plan et rectiligne, et le nombre des côtés.