CHAPITRE PREMIER
DES LIGNES QUI DÉPENDENT DES PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS DU PREMIER ORDRE.
§ !, — Des bissectrices.
82. Des lignes bissectrices des angles d'un système coordonné. — On appelle ainsi les lignes qui, en un point quelconque, coupent l'angle d'un système coordonné, ou l'angle supplémentaire, en deux parties égales. Il y a donc deux lignes bissectrices, l'une, de l'angle intériear, et l'autre, de l'angle extérieur du système.
Équations différentielles. — Si l'on appelle a, [3 les angles de la première ligne, et «i, [3i les angles que la seconde ligne fait avec les deux lignes coordonnées; ds, di, du, l'élément d'arc de la première ligne, et les éléments des lignes coordonnées correspondants; ils, î) 17, 5 0-1 les quantités analogues de la seconde, on a les équations pour la première et pour la seconde
D'après cela, les équations (1) du n° hk donnent pour équation différentielle des deux courbes
Il4 LIVRE 11. — APPLICATIONS DES TElEORlES l'RÉCÉOllNTES, ETC.
Les différentielles des arcs sont
(3) ds^idTCOsa, is — iSo-COSa,.
Hayons de courbure tangentielle. ~ Soient P et Pi les rayons de courbure tangentielle des courbes ds, ûs; l'on a, en faisant usage des formules (5) du n" 46,
desquelles on déduit
COSg 5\Qci. l(} |\ I
Si l'angle cp est constant, les équations (4] deviennent
acosa ' I 2 sina i i
~F^ "^ ^ R "^ s; ' ~p;~'^h'^ïï;'
Dans tous ces cas, le principe, des moyennes harmoniques donne la construction des rayons de courbure tangentielle P, P,.
Angles de contingence géodésique. — Les formuk^s (5' } du n" 47 prouvent qu'en un point, on a
c'est-à-dire que les angles de contingence tangentielle des deux courbes bissectrices sont égaux.
Système orthogonal. — Les deux courbes bissectrices forment un système orthogonal. Les courbes de la première série et les courbes de la seconde s'obtiennent, les premières par la variation du paramètre constant introduit par l'intégration de la première équation différentielle, et les secondes par la variation du paramètre constant introduit par l'intégration de la seconde équation différentielle. Le système de ces courbes partage harmoniquement le système des lignes coordonnées.
— DES LlliNES QLI DÉPENDENT, ETC. i l5
83. Problème 1. — Bissectrices des angles du système donné par les génératrices rectilignes de V hyperholoXde à une nappe.
L'équation de l'hyperboloïde à une nappe est, en coordonnées cartésiennes,
les équaiions des deux génératrices sont
p et pi élani les deux paramètres variables; on en déduit
a~ 1 -t-pp, ' b' i + pp, ' c H-pp, Si l'on différenlie d'abord par rapport à p, et ensuite par rapport à p,, on trouve
dx p, dr , J— PÎ dz ^ i + p' ,
d^ ~^^"(i-f-pp,f' rf^"" [i-t-ppi)'' dp^ ■(i + pp,r'
f/pi (l + ppi)' (/p,
Si l'on pose, pour abréger.
^ = i,^^jn^±^, ,(,)..^^
^^^ Ffpl^p ^ ^^^, F(p,)</p, , (n-pp,)'' ' '(.+pp,;''
les équations différentielles des bissectrices seront
dp dp,
Vi ■+ ■iK'p^-+- p' \/i -+- aK'p^ + pI
c'est l'équation de Lagraoge, elle s'intègre par les procédés connus. Son intégrale est, en appelant A la constante de l'intégration,
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Cette équation se décompose en deux, en appelant ajx eta;/, les deux paramètres variables, l'on a
p^p'+ K'(p= + pi) + H-V'(i+2K'P'+ P')(i-
t-ïK-pî+p!)
Si maintenant l'on passe au système cartésifin, on trouve le système de lignes de courbure déterminé sur la surface de l'hyperboloïde à une nappe par les intersections d'un ellipsoïde et d'un hyperboloïde à deux nappes, homofocaux.
I II. — Des lignes hamioniquës.
84. Des lignes conjuguées harmoniquesàrapport constant.— Lorsque deux lignes ds, is sont tracées sur la surface, de telle sorte que les rapports des sinus des angles qu'elles forment avec les lignes coordonnées soient égaux et de signes contraires, ces lignes sont dîtes conjuguées harmoniques par rapport aux lignes coordonnées; et si la valeur absolue du rapport reste invariable d'un point à un autre, elles sont conjuguées harmoniques à rapport constant.
Équation différentielle. — Si l'on conserve la notation du n" 82, et qu'on suppose m constant, l'on a les conditions
desquelles on déduit les équations différentielles des courbes harmoniques
dij^ mda„ 3(7 —-— mirr,.
On trouve, pour les différentielles des arcs, les expressions suivantes :
^s— da, \/i4- m'-K amcos©, is=:'iai\/i -h m^— im cos^. Le rayon de courbure langenlielle P de la première est
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donné par la formule
sin'ffl I /cos(3 cosa\ / cosœ cos^N
et on obtient le rayon de courbure tangeniielle P, de la seconde, en changeant dans celle-ci P en V„ a en «,, [3 en |3i, ei en changeant le signe de m.
Systèmes conjugués harmoniques. — Lorsqu'on aura intégré les deux équations différentielles, en représentant par f*, |Wi les deux constantes introduites par l'intégration ; le système des courbes ja, ^, sera un système de lignes coordonnées qui sera coupé harmoniquenient sous le rapport constant m, par les lignes p, p,. On a donc deux systèmes coordonnés qui sont conjugués harmoniques, l'un par rapport à l'autre, sous rapport constant.
Si m était une fonction donnée des coordonnées du point p, Pi, les équations précédentes, à l'exception de celles qui se rapportent au rayon de courbure, auraient encore lieu.
85. Problème II, — Conjuguées harmoniques d'un système de coordonnées de la surface hélicoïdale.
Si l'on représente par ( la projection du rayon vecteur mené d'un point fixe à un point de cette surface sur le plan des xy, et par S l'angle que fait cette projection avec la droite fixe ox, les équations de la surface Iiéliçoïdale sont
X ^.^icos9,
On déduit
^ = cos8,
dl
et consequi
</ff'=.(ï= + rtM(^â% <'^\ ---■] ' + [^^'l 0]'] ; '''S
Il8 LIVRE 11. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES, ETC.
Les équations différenli elles des deux lignes conjuguées harmoniques du système — p, / -- p, seront donc
rf5 = ±„^' + W'.'J-rf,,
le signe -l- se rapportant à la ligne intérieure et le signe — à la ligne extérieure par rapport a l'angle 9 des lignes coordonnées. Les équations de ces lignes sont, p., p.i étant les constantes de l'intégration.
J yja'+l' '^ J y/à' -ht'
et l'on voit que, si le rapport m, au lieu d'être constant, élail une fonction de (, ce qui revient à dire qu'il ne changerait pas sur la ligne coordonnée ( = p,, la question ne dépendrait encore que des quadratures.il en serait de même si le rapport m était le produit de deux fonctions, l'une de et l'autre de t exclusivement.
Héliçoïde gauche à plan directeur. — Dans ce cas, "Jj ( ( ) est constant, ce qui entraîne la condition <^'{i]^o; de plus, l'angle des coordonnées 9 est droit; on a donc
dont les intégrales sont, jj. et //, étant les constantes de l'inlégnUion,
Remarque. ~ Les équations de la surface hélicoïdale peuvent être mises sous une autre forme qui nous sera utile. Soient c, w des fonctions de l; n ei a des constantes; l'on a
.r=^(eosn[e-i-^'), j-=;5inH{0 + i'), z = ,m{0 + i')^- w. 11 est ('vident qu'elle représente, comme la précédente, la
