LIGNES COORDONNÉES

86. La trajectoire orthogonale de l'une des deux lignes coordonnées est celle qui coupe toutes les lignes d'une série [p] des lignes coordonnées sous un angle droit.

Équations différentielles, — Soit i^* l'élément de la courbe qui coupe la ligne da orthogonalement ; la projection du premier de ces éléments sur la direction du second devant être nulle, on a l'équation

d'y + cos(p </(7i = o;

de là résulte cette règle que, si, dans l'expression générale de (/s%

(y,sï= drj] -\- drj^-h 1 C059 dada,,

l'on regarde da comme une variable, la dérivée de ds par rapport à da doit être nulle.

La différentielle de l'arc est

Si l'on remarque que l'angle «est égal à -t et que|3 = ip — '-■,

I20 LIVRE II. — APPLICATIONS DES théouies précédentes, la seconde des équations (5) du n" 46 donne

laquelle fait connaître le rayon de courbure langentielle P.

Système complémentaire. — Si l'on cherche les trajectoires orthogonales de l'autre série de lignes coordonnées, et qu'on représente par 3 s, Jtr, S tri les éléments de ia trajectoire et des lignes coordonnées, l'on aura l'équation différentielle

J(7i + cos(pi)a-:=o.

Si l'on intègre les équations différentielles des deux trajectoires et qu'on représente par jj:, j/i les deux constantes de l'intégration, le système des courbes ft, fd sera uri système <le lignes coordonnées, complémentaire du précédent, et les deux lignes formeront entre elles ie môme angle.

Les systèmes formés, le premier des deux lignes p, et (x et le second des deux lignes p et ji, seront orthogonaux.

87. Fhoblëhe m. — Trajectoire orthogonale d'un système de lignes coordonnées de la surface condidale.

La surface conoïdale est celle qui est engendrée par une courbe plane, pendant qu'une droite fixe, située dans son plan, décrit un conoïde. En conservant les notations du n" 85, l'on a

37 = i cose, y = t sin â, z —/{d) + 4- ( 0-

L'équation aux différences partielles.de la surface est, en représentant par p, q, r, s, u les dérivées premières et secondes de z par rapport à x el iiy,

y^r ■+ x^u, — xys — qy — yx =:o.

Si l'on prend les différcniielics complètes de x,y, z par rapport aux variables et t, qu'on élève au carré et qu'on ajoute, l'on obtient

si l'on veut obtenir la trajectoire orthogonale de la série di, des lignes coordonnées 6 :=p = const., il faut poser, d'après