CHAPITRE I. — DES LIGNES Q'JI DÉPEKDEM, ETC

la régie (86),

si l'on divise les deux membres par <^'(t], on oblienl jlt__

Vin

donc l'imégriilc est

r rit

(j, élant laconslanie intrciduile par l'iniôgralion.

Surface hélicoïdale. — Pour passer au cas de la surface hélicoïdale, il fautposer/(0) — «0, «étant une conslame; cette dernière équation devient

Si l'on veut obtenir la trajectoire orthogonale de l'autre sé- 'ie des lignes coordonnées, il faut poser

d'où Ton déduit

^ f i,'i.t)'tt

Proposons-nous de rapporter un point quelconque de celte surface, au système orthogonal t et p.,, et d'exprimer la valeur de ds en fonction de ces deux coordonnées.

L'équalion précédente donne

dB-dp.-a^^^-jj-y

il faut porter celte valeur dans l'expression de ds' se rapportant au système t et S, laquelle, d'après ce que nous avons écrit plus haut, est

f/i'=:i(i --h i[;'ï) (/;=-(- (rt=4 P)dO^ + in^'dOdl:

1 DIÎS TIIÈOIIIIÎS PRÉCÉDENTES,

on obtient ainsi

-dl.\

laquelle ne renferme pas le double produit dy.,dt, comme cela devait être. Nous reviendrons plus lard sur cette expression, pour en tirer une conséquence remarquable.

Pour otitenir dans le cas de la surface hélicoïdale la valeur de l'élément ds de la trajectoire orthogonale de l'arc do-, il faut faire usage de la formule

iincp,

la rectification de la trajectoire ne dépend donc que des quadratures.