IV
Des TIlAJECTOHHtS sous ANGLE DONNÉ DE l'uNE DES DEUX LIGNES COORDONNÉES.
88. Équation différentielle. — Conservons les mêmes notations que dans le n" 82. Soit a l'angle donné sous lequel ds doit couper rfo-; en exprimant que la projection ds est égale à la somme des projections de drr et de da, sur la direction de d<T, l'on a
df7 -\- coSfdfj, =^cosads, ou bien
sin^d/T,
h cosQ)ri(7i'
ou bien
(sinacosfp — cosas\i\<ù)d<j: ■+- sinaf/cr -;o,
qui est l'équation différentielle de la courbe. La dilTérentieile de l'arc est
COS l» - a) C0S(9 — aj
CLUPITRE I. — DES UGNE8 QUI UIÎPlîNDliNT, ETC.
Rayon de courbure tangenùelle. — Lorsque l'anj^lc constant, la seconde des équations (5) du a° 4fj donrn;
laquelle donne la construction du rayon do courbure tangcntielle P.
Trajectoires conjuguées. — Considérons deux trajectoires ds, 'is, la première sous l'angle variable ce, la seconde sous l'angle variable ce, de la ligne coordonnée d'j ; les angles a. et k, élant liés entre eux par la relation
F(«, «,) = '«m étant une constante; si l'on écrit les deux équations relatives à a et «1, qui se déduisent de !a deuxième des équa-
tiens (5), n" 46, qu'on multiplie la première par -,- et la se-
coude par -v-) et qu'on ajoute, en ayant égard à la différentielle de la fonction F, l'on a /dY d¥\
-f- ^^ / — TT -^s
1 IdV . dV . \
Si l;i relation F se réduit à a -f- a' = ~, l'équation précédente devient
sii9 T -'^ ÏT = n i '^'"P + ^'"P') + r *^*"" + '^■
« bien
(24 IIVRE U. — Al'PLICATlOHS DES THÉOHIKS PRÉCÉDENTES, ETC.
Si l'on cherche la condition pour que le terme qui contient la courbure inclinée langemielle t- disparaisse, il faut intégrer l'équation aux différences partielles
dF . dF
-j— sina -i — -, — s (la dtx,
dont l'intégrale esi
tan g -
tan g -
89. PnoBLÈME IV. — Trajectoire sous un angle constant a d'un système de coordonnées curvilignes de la surface hélicoïdale.
Prenons l'équation, n" 88,
rfffsina— {cosce sinç — sinct coscpjt/rr, ;= o.
Dans la surface hélicoïdale, l'on a
rtJ;' . s/a^ + t'-h l''h'^
cnsfp — ^ , sinm:^ — ^. ■■■. ■ . ;=: ;
conséquemmént, l'équation différentielle de la trajectoire sera
sina(/e=(cosa v'«'^*'~-l-- '^'F'^— -asina'4'') ^ ' ■■-;> dans laquelle les variables sont séparées.
Problëhie V. — Trajectoire sous angle constant des méridiennes d'une surface de révolution.
Soit ( la distance d'un point quelconque de la surface à l'axe de révolution, 6 l'angle qu'elle fait avec un plan fixe passant par l'axe; en prenant Set ( pour coordonnées curvilignes d'un point quelconque de la surface, on a S^p, i=py; soit z = 4'(0 l'équation de la courbe méridienne
dfT~ tdû, dT, = d(\Ji -+- 'Y',
