CHAPITRE 1. — I-IÎS LIGNES QUI I>fiPENI>ENT, ETC
l'équation de la trajecioire sera
dans laquelle les variables se séparent immédiatement. L'équation précédente étant intégrée, on obtient, ft étant la constante d'intégration,
C'^t ,— — rr 9 — p. = cola I --- v^i -4- 4" •
Si l'on veut rapporter un point quelconque de la surface de révolution aux coordonnées |M = const,, i = const., il faut, dans l'expression du déplacement rfs exprimé au moyen des coordonnées 9 et t, introduire les coordonnées [j. ei t; or, l'on a
l'équation précédente donne
substituant dans la précédenie, l'on obtient
ds'^^ . ^ (i -f- i{;"J + PdiJ.' -\- icoxxtdadt \/i -h^'''-
On a ainsi un système de coordonnées à angle constant. Cette équation serait encore exacte si la trajectoire coupait les courbes méridiennes sous un angle a variable avec la dislance ( du point à l'axe de révolution. Dans ce système de coordon-
dc ■^=: (du, da,^ — ^ — ~ dt, €05»= cosa, ' sin« ^
Différentielle de l'aire. — Soit l'aire comprise entre um courbe méridienne, la courbe s et un cercle parallèle, l'on ;
du = t^i ~h ^"'dOdt, u= j dO f tdl\l\ -\-y.
yGoosle
jab LIVKE 11. — Al-PLICATIONS DliS THÉORIES PRÉf.eDlîNTliS, KTC.
I<i limite supérieure se rapportant à la valeur de S donnée par l'équation de la irajectoire.
Problème inverse. — L'équation, différentielle de la trajectoire sert aussi à résoudre le problème inverse, qui consiste à déterminer la méridienne de la surface de révolution, de telle sorte que la trajectoire sous angle donné se projette sur un plan perpendiculaire à l'axe suivant une courbe donnée
L'équation difléreniielSc de la ligne méridienne est,, dans ce cas,
CQltx.ds = dt v'/'[F'(()]' — cut'œ,
dans laquelle les variables sont aussi séparées.
Applications : i " Trajectoire sous angle constant [5 des génératrices d'un oône droit. — Si s.y représente l'angle du cône, son équation sera
(= stangy.
On obtient, pour l'équalion diffère miellé de la Irajectoire,
siny t dont l'intégrale est
jji étant la constante de l'intégration, c'esl-à-dire la valeur de t correspondante à égale a zéro, et e la base des logarithmes népériens. La longueur de la trajectoire entre t égale à f/ et ( est
c.os j3 sin y
L'aire entre les mêmes limites de t, c'est-à-dire entre un arc de trajectoire, la génératrice et le parallèle qui passe par les cxlréniités de cet arc, a pour expression
w^ ,,;°,, ('log-^-fy.'iog-= ■ De là on déduit que l'aire comprise entre les deux généra-
