CHAPITRE U — DES LIGNES QUI DÉPENDENT, ETC. I

ti'ices correspondanles à y. ei à i el la Irajecl.oii-c est

2° Trajectoire sous angle confiant des lignes méridlennnes de la surface engendrée par la révolution d'une spirale logarithmique autour d'un axe situé dans son plan. — La surface de révolulion engendrée par une courbe plane tournant autour d'un axe situé dans son plan, lorsqu'on introduit le rayon vecteur x et l'angle if* qu'il fait avec l'axe de révolution, a pour équation

Dans cette lijpothèse, les différentielles des arcs coordonnés sont

da^TS\n'\'d9, dr, = d'i.^/V+lf^)f; or, dans le cas actuel, l'équation de la ligne méridienne est

T = ae"*, dans laquelle a et m sont des constantes. L'équation différentielle de la trajectoire sous angle constant sera donc

dont l'intégrale, en appelant 9, la constante introduite par j'in-

tang - i\i = e' i déduit

sindi =^ —fTz — ir\ tts — r^' cosd' = ,,. ■ .- j-n — ït-

T gli(S — Bol ^ g— U(l— W T £"{6 — «ni j g— "('— "i) '

donc les coordonnées rectangles x, y. z d'un point quelconque de la trajectoire seront

cos ( g — ej

gi(

sin

le -6.)

ISO LIVRE II. — \|IPUC\TI0NS DBS THÉOniES PRÉCÉDENTES, ETC.

avec la condition

*/np = 2/71 arc [taiig = e'''*-*"'].

Si l'on appelle S l'arc de la trajectoire compris entre les valeurs Ta et T du rayon vecteur, l'on a

~ ■"' njcosa

La trajectoire jouit de la propriété suivante : que si l'on conçoit un point M décrivant celte ligne, en même temps un point 0' et un plan P mobiles; le premier, en restant sur l'axe de révolution, et le second, en restant constamment perpendiculaire à cet axe, et à des distances de l'origine de signe contraire, et égales à la distance du point décrivant M de l'origine ; si à chaque instant, on joint le point M au point 0', la ligne O'M prolongée décrira sur le plan mobile une spirale ayant pour équation sur ce plan

3" Loxodromie. — On appelle ainsi la courbe coupant sous un angle constant les cercles méridiens d'une sphère. Cette question est un cas particulier de la précédente, car si l'on suppose m=^o, l'équation représente une sphère. L'équation de la trajectoire exprimée par les variables J^ et ô ne change pas de forme, on obtient

ra.(^-

et le théorème précédent conduit à cette propriété curieuse, que si l'on prend la perspective sur la sphère de la spirale plane

située dans un plan tangent, le pôle de la spirale coïncidant avec le point de contact de la sphère et du plan sur lequel la spirale est tracée, la loxodromie est la perspective sphérique de cette spirale logarithmique quand on prend pour centre de perspective l'extrémité du diamètre qui passe par le point de contact.

4° Trouver la surface de révol/ition telle, que la trajectoire

CHAPITBE I. — DES LIGNES QUI SËPENDEM, ETC. I29

SOUS angle constant des lignes méridiennes se projette suivant la spirale parabolique sur un plan perpendictdaire A l'axe de révolution. — On a alors

/= aB\

a ciant une constante. L'équation différentielle de la ligne méridienne est ^^_____

coiai/s — (/(i/t cot'a;

Cl, fin intégrant, ou obtient la développée de la parabole

§ V. — TeiaJEGTOIEE OBTHOCONAIE d'une courbe DONNEE.

91. Équation différentielle de la trajectoire. — Soient ds, diT, d(T, l'élément de la courbe donnée, et ses projections obliques sur les lignes coordonnées; «, p les angles que cet élément fait avec ses deux projections. Soient 3 *,ûff, 3(Ti,a,, |3, les quantités analogues de la trajectoire. L'aire triangulaire dont les deux éléments ds, "is sont deux côtés, donne, d'après le n" 6 du Chapitre 1,

(0 ds'is^smi^fid'yia,— da.ia);

on a aussi, d'après le même numéro,

/ offfiSin© Do-isincp \

Or, si Ton e-iprime que l'angle dsis est droit, l'on a

ce qui entraîne la condition i -+- iangx, tanga = o ; d'après cela, l'on a

da'-\-dal-¥-^-d:7da,ro^i<» dsai

l3o LIVRE H. — APPLICATIONS IIES THÉORIES PRÉCÉDEKTES, ETC.

La première de ces trois relations doniiR l'équation différentielle de la courbe, et les deux autres donnent l'éiément de l'arc et sa direction.

Soit l'équation de la courbe proposée, u étant iin paramètre,

F(p.pJ = «, OU, ce qui est la même chose,

l'équation différentielle de la trajectoire sera (n" 52

„ «X- „db „dF „ «i

Hi -T— cos m — Hj— H-p-cosûj — Hi-T— dp ^ ffp, ap, ^ dp

avec la condition

Différentielle de l'arc. — L'équation (i) donne, en ajani égard aux relations du n" 52,

équation qui fait connaître Ss au moyen des éléments de la courbe proposée.

Courbure tangentielle. ~ Le rayon de courbure langentielle de la trajectoire orthogonale se calcule aussi au moyen de l'équation de la courbe proposée.

Si l'on remarque que l'on a

l'équation {7 ) du n" 49 devient HH.sinffl d' ,„ .

fH.sinp);

yGoosle

CHAPr