IRE I

ims I-IGNES QCi

DÉPENDlit

(T, Etn.

, en ayanl

égard

aux premières équalions(i

3) du n" 52,

/HH,siii<p rfF\ V ,K dp]-

dç\ K

dT^

laquelle ne dépend que des élémenls de la courbe F.

Les quantités K et K, (cette dernière se rapportant à la courbe Ss) sont liées entre elles par la relation

~ = — HII, sinq),

comme nous l'établirons généralement au paragraplie suivant. Relations entre tes courbures -^, — ■ — La formule du n^SS donne

sin^ (^-ç) =;^(sin[5 + cos[3)-H^(sina-Hcosa).

Système orthogonat. — Pour obtenir les équations relatives à ce système, il faut poser 9 =^ ~ ; les équations différentielles de la courbe proposée et de la trajectoire orthogonale sont

dV . dY ,

La différentielle de l'arc est

K3s = iM.

92. Problème Vi. — Trajectoire orthogonale d'une ligne ellipsoïdale.

Soit l'équation de l'ellipsoïde en coordonnées rectangles

si l'on prend pour lignes coordonnées les iiiierseciions de cette surface ;ivec deux séries de surfaces du même degré

l3? LIVRE II. — APPLICATIONS D1!S THÉORIES PRÉCÉDENTES, ETC.

homofocales, la première série élaiil composée d'iij'pcrboloïdes à une nappe, el la seconde d'hyperboloïdes à deux nappes, si l'on représente l'équation de l'ellipsoïde par F [X), ï, fj-, V étant les trois demi-axes de ces surfaces, et dans chacune d'elles 6 et c les demi-distances focales des deux sections principales, majeure el mojenne, avec les conditions X>.c>j:t> ft^v, les symboles F (f^), F (v) représenteront les deux hyperboloïdes. Or, ces trois équations étant du troisième degré en X', fi', y% et composées de la même manière parrapport aux coefficients, il en résulte que les trois racines de chacune d'elles sont les valeurs de A', lû, v', correspondantes à un système de valeurs de x, y,z\ on a donc les trois équatiqns suivantes, qui résultent des relations qui existent entre les coefiicienis et les racines d'une équation du troisième

I 1' + li.' +■ v^ = X'' -i- X' -^ z'' -i- h' -{- c',

{.) l^iiW^h'c^x\

[l^ij}^ l)?v''-V-v'''t} — b''{x'' -l-a') + c'[jc> -l-r') + ^''^ desquelles on déduit

bcx ^ X/iv,

Si l'on différenlie ces équations en regardant \ comme constante, et // et V comme variables, l'on aura

Si l'on élève au carré les valeurs de dx, dy, dz ex qu'on ajoute, l'on aura

(4) ds'^{i,:-~v4—^,^

yGoosle

CLIAI'II'IIL I. DUS LIGNtS Qi;i DÉI'tSUCTT, RTC. I 33

de là résulie que les équations d'une courbe et de sa trajectoire orlliogonale seront dans ce sjsième, en représentant p par ji ei p, par i/,

[ (IF . dV ,