d rj. -l- -j- d-u =: o
\ \diJ.j VrfW
Il résulte de la' forme de l'équalion de la trajectoire que, si les variables sont séparées dans l'équation différentielle de la courbe donnée, elles seront également séparées dans l'équation de la trajectoire.
Différentielle de l'arc de la trajectoire. — Si l'on remarque que 3* est la somme des projections de 3a-,;jc-| sur ia direction de drj, l'on aura
93. Application. — Trajectoires orthogonales des courbes eylindro-ellip I iq ues .
Considérons la série des courbes ellipsoïdales formées par les intersections de l'ellipsoïde X avec les cylindres semblables dont les axes finis ik et aB coïncident en direction avec les axes aï, 2\/V — 6' de l'ellipsoïde. Si l'on pose, pour abréger.
^ B'I'ic'— b']^ \-'c'{b''—l')' l'équation de ces cylindres sera
dont l'équation différentielle est
udu vd-u
yGoosle
1^4 LIVBE II. — APPLICATIONS DES THÉORIES PBÉCÉDEnTliS, tTi:.
D'après cela, l'équation de la trajectoire sera
v' ^ If u' -!- /' </v X' — ij} jj.' -^ l' d ij.
'J' — fc' W' ^ C' V !/• — b' II.' C' f.
dans laquelle les variables sont séparées. Si l'on suppose que les trois demi-axes de l'ellipsoïde sont 1, l,, l„ et qu'on pose, pour abréger,
les mélhodes d'intégration des fondions rationnelles conduisent à l'intégrale suivante :
(f<-«')*'X [(«■-(.■)(|/'-6-]l''.X [(.■-c>)((,.'-c-)f. = consl.,
laquelle, dans le système cartésien, devient
zC, = o.
%. Cas PAKTicuLiERS. ~ I. Trajectoires orthogonales des intersections faites par des plans parallèles à l'un des trois plans principaux de l'ellipsoïde.
Il suffit de faire, dans les formules que nous venons de trouver, /' successivement égal à — c, — b\ o; on trouve ainsi :
1° Pour les intersections faites par un plan parallèle au plan de la section ellipsoïdale maximum, l'équation
el, pour sa trajectoire orthogonale, l'équation en coordonnées rarlésiennes
x'-' f^''' -'■^> ^= consl. ;
2" Pour les intersections faites par un plan parallèle au plan de la section ellipsoïdale moyenne et leurs trajectoires orthogonales, les équations
