CIIAI'ITUE 1, — DES LIGNES QUI DÉPENDENT, ETC

3" Pour les intersections faites par un plan parallèle au plan de la section ellipsoïdale minimum et leurs trajectoires orthogonales, les équations

fAv = consi., jf^'-^izi'' ■'^^') =:consl,

II. Trajectoires orthogonales des courbes, lieux des points de contact des sphères de rayon constant doublement tangentes à l'ellipsoïde.

L'équation de ces courbes est

(l' — f(')(î.' — u') = const., dont la différeniieile ost

jj-d/j. , vdv

D'après cela, il suffit de faire /' =^ — >.' dans les formules déjà trouvées n" 93 pour passer du cas général à celui dont il s'agit maintenant; on trouve alors, pour les équalions des trajectoires orthogonales,

x-fzi^con.i.

iC los c

onditions

'-(«■-irns-»:)

<'- ir,--f)(1.;~lly

Jli. Trajectoires orthogonales des sphéroconiques. — La sphéroconique est l'intersefilion d'un ellipsoïde et d'une sphère concentriques. L'équation de la sphéroconique est

Son équation différentielle est

<xd>,.'^x^dv=:.o.

La comparaison de cette équation et do colle des intersections

[36 LEVRE II. — APPLICATIONS DES THÉORIES l'RÉClîDEMES, ETC.

cj'lindro-ellipliques monlre qu'il suflil de poser /':=co dans celle-ci pour obtenir la précédente. D'après cela, l'équation des trajectoires orthogonales sera

^ù^c'yt'it.'-<:'i ^<:'{l<-ù-)-^ consl.

D5. De la trajectoire coupant une des lignes coordonnées sous un angle dont la tangente est dans un rapport donné m avec la tangente de l'angle des lignes coordonnées.

Équation différentielle de la courbe. ~ La conilition du problème est

tanga = mtangtp;

si l'on remplace les sinus par les arcs proportionnels, et le cosinus de l'angle a par sa valeur donnée par les formules (i) du n° H, on obtient

qui est l'équation différentielle de la courbe. La dirférenlietlc de l'arc s'en déduit :

96, Prohlëhe VII. — Le mouvement d'unplan est déterminé par ces trois conditions : qu'un de ses points parcourt une courbe directrice, que ce pian reste normal à l'élément de cette courbe, et que sa rotation autour de cet élément comme axe est égale à la flexion de cette courbe en ce point; trouver la surface engendrée par une courbe située dans ce plan, et déterminer la trajectoire, d'après la loi précédente, d 'une des lignes coordonnées.

Équations de ta surface. ~ Soient x', r', 7.' les coordonnées du point M qui parcourt la directrice, v et n les coordonnées d'un point N de la génératrice par rapport à deux axes menés du point M, l'un parallèlement au rayon de courbure de la directrice et l'autre parallèlement à la binormale ; soit / la direction de la tangente à !a directrice, ei, n =:/[•-) l'équa-

CEUPITHL I. — DES LIGNES ■

lion de la générairice par rapport aux axes Mi, Mn; soient x, y, 3 les coordonnées du point N par rapport. aux axes 0^', O7', Oa'. Si l'on projette le périmètre du polygone OMNO sur chacun de ces axes, on aura trois équations renfermées dans le type suivant :

dans lesquelles x', y' , s' sont exprimées en fonction d'une variable f, ainsi que les quantités qui en dépendent ; on a donc les trois coordonnées x, y, z exprimées en fonction de deux paramètres t et c.

Arcs coordonnés.- — Si l'on prend la différentielle de l'équation précédente, et que Ton conserve la notation des n"' 19 et 9 du Chapitre I, l'on a

dx^ds'cos{t, x)-\-i.d>if.os{l, x) +/(i)(/wCOs{r, x) + </tCOs{r, 37)-!-/'(0d^C0S[n, ar);

si l'on élève au carré les trois équations contenues dans ce type, et qu'on les ajoute, on aura

(/«'= rfs" -I- ^=<;a= + [d^ +/(v)«/wp + [/'(v)]=rf^'

+ 2t A'rf«C0S{;, /) + 2/'(ï.}l(/l(/hC05[w, 0-

Or Ton a (n-9)

COS [t,l]= -7—, COS(«, /) — — -;---:

on obtiendra donc