CHAPITRE IL
DES LIGNES QUI NE DÉPENDENT QUE DES COURBUliES NORMALES DES LIGNES COORDONNÉES.
§ 1, — DhS LIGNES ASYJIPTOTIQUHS.
100. Des lignes asymptotiques. — On appelle ainsi les lignes tracées sur une surface telles, qu'en un quelconque de leurs poinis la composanie normale de la courbure est nulle, La recherche des lignes asymptotiques conduit généralement à une équation différentielle du premier ordre et du second degré; mais cette équation peut se simplifier, lorsque, la surface renfermant une famille de lignes asymptotiques connue, telles que des génératrices rectilignes, on fait entrer cette famille dans le système des coordonnées curvilignes dont on fait usage.
Équation différentielle. — Si l'on pose la condition qu'une courbe ds a sa courbure normale nulle, l'équation (i) du w^hdevient
d^ idjd^, d<7',
qui est l'équation différentielle de la coiirbp du premier ordre et du second degré.
Si l'une des courbes coordonnées p = const. est asympto-
tique, l'autre courbe étant quelconque, la courbure - est
nulle, el l'équation précédente devient
r.ette équation se compose do deux facteurs : le premier.
cnAPiiRK ir. — DKs i.FGNRs QUI NE dEpenbest, etc. 145 égalé à zéro, donne le système, déjà connu, p -- con-;!.; l'équittion de l'autre ligne asymptotique est donc
lui. PMiiii.Mr.1. — Étant donnée une surface réglée, trouver tous les systèmes de lignes asymptotiques.
Équations de la surface réglée. — La surface réglée esl engendrée par le mouvement d'une ligne droite dont un point parcourt une courbe donnée. D'après cela, les coordonnées x',f', z' de ce point, par rapport à trois axes rectangulaires fixes, sont des fonctions d'un certain paramètre p, et les cosinus des angles de la droite avec les mêmes axes sont fonctions du même paramètre. Soit t la distance du point qui parcourt la courbe directrice à un point quelconque [a^,j, 3)de la ligne génératrice, les équations de la surface sont données par les trois équations renfermées dans le type
- icos((,^) [3],
dans lesquelles les variables indépendantes sont p et (.
Ligne de striction. ■— SI l'on détermine sur chaque génératrice rectiligne le pied de la perpendiculaire commune à cette génératrice et à celle infiniment voisine, le lieu des pieds de ces perpendiculaires est la ligne de striction,
Soit )1(7 {/t!^. 10) !fi pei'pondiciilairc ronnn
l4t) LIVRE II. — APPLICATIONS DES THÉORIES 1
nératrices OD, 0!D', ei î)'d' la perpendiculaire commune inliniment voisine; DD' est la différentielle ds' de l'arc de la ligne de striction; OE est prise égale et parallèle à Drf; j est la projection de E sur la génératrice O'D'; posons 01) égaie à t', et projetons le périmètre du quadrilatère OD D'O' successivement sur les trois directions 0(, 0*', On, on aura
ds' cos{t, ds') =:dscos{t, ds) -+- dt', ds' cos{i; ds') =dscos{i, ds) -+• t'ds, ds' cos ( n, ds' ) := ds COs{ n, ds) ;
or l'angle (i; ds'] ne diffère d'un angle droit que, d'an infiniment petit. On a donc
- d', '-'"' j lattg[t',ds')~ [ ds" =
rjp'
ds cos{e, ds) H ■(», ds) + [dscos[t, ds)
- dt'Y
Soient 0"D" une troisième position de f et B' b' le prolongement de DD' ; DV sa projection sur le plan tangent O'DV à la surface réglée au point D' ; ces deux droites forment avec D'D" un trîèdre rectangle, l'angle 6'D'n' est l'angle de contingence def de la courbe, l'angle a' D' v' est la différence des angles O'D'c', 0'D'«'; or O'D'c' est égal à-K — {t,ds'), O'D' a' a pour valeur 71 ~(i, rfj' ) — (/(/, rfs'); on a donco'D'c' égal à d{t,ds'). D'une autre part, si l'on remarque que les deux plans tangents à la surface réglée, infiniment voisins le long de la ligne de striction, sont perpendiculaires à G;- et à Or -(-(/(Or), le plan de l'angle frOr') de ces deux droites (n"9) est perpendiculaire à l'intersection des deux plans, c'est-à-dire à Op. En remarquant que l'angle e'D'6' se projette sur l'angle rOr', on a donc
c' \)'l>' = { r, r' ) cos [p, ds')^{ l, l' ) Cos [n, ds'} - Cela posé, le triangle rectangle d b' a' donne
iM'cos(i, ds').
--■ TES LIGNES QUI NE DftPENDENi, FTO. lf\-]
on aura donc les deux équations
ide'' = [[l,[')sinit,ds') — {)i, d' ) cos(/,rf.î' )]' h- [(!{l,ds']]'.
(6)' , ,,, <nt',ds-)
I cota a'b ^= — -i — ^-, j-r; 1 r". ' r-T ■
f ae bni(ï, t/i') + t/(ocos((, as')
Les formules (5) font connaître en fonction du paramètre p la dislance t' du point D, point central, au point correspondant Ode la courbe directrice, l'élément t/i' de la ligne de striction et l'angle que cet élément fait avec les trois lignes 0/, On, Or. Les formules (6) donnent en fonction du même paramètre l'angle de' de contingence de la ligne de striction et l'angle que le rayon de courbure fait avec les trois directions Ot, On,
Or, el.i
'de'
de' de cette courbe, ainsi que sa courbure normale ---, cos(^', r).
De la résulte que la ligne de striction est complètement déterminée. Il sera donc toujours possible de prendre la ligne de striction elle-même pour courbe directrice, et c'est ce que nous ferons dans les recherches qui nous occupent; et, dans ce qui va suivre, les équations (4) de la surface réglée se rapporteront à la ligne de striction considérée comme courbe directrice de la ligne droite mobile, Q\x',y',z' seront les coordonnées d'un point quelconque de cette ligne.
Équations différentielles dés lignes asymptotiques. — Nous admettons la notation suivante, pour rester fidèle à nos conventions {Jîg. lo') :
di est l'angle de deux génératrices reclilignes infiniment voisines;
dp est leur plus courte distance;
rfio est 4'angle de deux plus courtes distances infiniment voisines;
dq est leur plus courte distance;
y est l'angle d'une normale à la surface avec celle menée par le point central pris sur la même génératrice;
rf» est l'angle de deux normales à la surface menées par deux points centraux infiniment voisins.
Nous prenons pour lignes coordonnées les génératrices
. THÉORIES PRËCËDGNTES, SJC.
rectilignes el loiirs Irajectoives orthogonales : les positions des premières dépendent du paramèlre p, ( est la distance de
la ligne orthogonale au point central, .rfp, \a distance de deiiv lignes orthogonales infiniment voisines. Cela posé, si l'on projette le périmètre du qii'adrilatère dont les côtés opposés sont di7 et dp sur les trois directions de dp, de t et de la normale à ces deux lignes, l'on aura
(7) dp-=^d(rcosy, td^-- (lesquetles on déduit
ffsiny,
dp
sphérique n" 9, construite en menant des rayons parallèles aux lignes dont il vient d'être question, on mène cTes rayons parallèles aux normales à la surface menées parles extrémités de da, l'on aura
{ dfT,
- — -- (/s cosy,
yGoosle
CHiPlTUE H- — DUS LIGMiS yiJI NE DÊPKNilVNT, EIC. l^;")
d'après cela, l'équation (a) devient
(10) 4aid^-d,y-^.d,y)==o;
or, si l'on remarque que l'on a, d'après les équations (8),
l'équation précédente prendra la forme
COb / p, «ïp
qui a cet avantage que chacun de ses termes se rapporte à nn des éléments de la surface réglée.
102. De la surface gauche lieu des binormales à une courbe. — Dans ce genre de surfaces, la plus courte distance dq est nulle; l'équation (12) devient
('3) rf(p;u = p.^^;
or, si 1*011 élimine y au moyen dos deuxièmes équations {8) et (11), on obtient
' dp dp dp ^ '
qui esl du premier degré par rapport aux variables ( el p. C'est l'équalion d'Euler; elle s'intégrera donc d'une manière générale lorsqu'on connaîtra une solution particulière.
Conoïde droit. — C'est la surface engendrée par une droite t constamment parallèle à un plan et s'appuyant sur une droite perpendiculaire à ce plan et sur une courbe donnée.
Si l'on prend pour directrice rectiligne l'axe des s (système rectiligne orthogonal), et qu'on appelle l'angle que la projection de la génératrice fait avec l'axe des x, les équations du conoïde droit sont
^— ÏCOS0, /= (sinO, zr-f[B); l'équation de la ligne asymplotique devient, en remaïquanl
que di -- dQ -- dp et que 'C — ^, . □ '
de laquelle on déduit l'équation de la ligne asymptotique en termes flnis
jj. éianl l'inicgrale introduite par l'inlégralion.
Héliçoïde gauche à plan directeur. — C'est le conoïde pour lequel la courbe directrice non reciiligne esi une hélice ayant la directrice rectiligne pour axe. Bans ce cas,/' [d) est une constante; on a donc i= = const. pour ligne asymptotique , c'est-à-dire, n" 87, la irajecloire à angles droits des génératrices reetilignes.
103, Surfaces de révolution. ■ Examinons maintenant le cas où aucune ligne asymptotique n'entre dans le système des lignes coordonnées, comme cela a lieu généralement dans le système des méridiennes et des parallèles des surfaces de révolution. Si nous conservons la notation employée au n" 89, nous trouverons pour les rayons des courbures normales des arcs dr7, du, les expressions suivantes :
La première s'obtient en multipliant la courbure - du parallèle da par le cosinus de l'angle de la normale et du rayon du parallèle; la secondé n'est autre que la courbure de la ligne méridienne. Quant à la composante normale de la courbure inclinée de l'arc du, elle est nulle, puisque le plan de celte courbure n'est autre que le plan langent; on a donc
l'équation différentielle de la courbe sera donc, en représentant par ( la racine carrée de moins un [«"100, form. (i)],
