EST UNE FONCTION DONNÉE

101. Équation différentielle. — Cette équation est donnée par la formule (i) du n° 54, dans laquelle l'élément ds a été exprimé en fonction des éléments dtr, dtr, des lignes coordonnées, et dans laquelle - représente la fonction donnée

Surfaces réglées, — Dans le cas de ces surfaces, on trouve, en raisonnant comme au n" 101,

Cottoïde droit. — On obtient, en posant dans k formule précédente q ei da nuls, ei conséquemmcnt l ~ p,, l'équa-

l52 LIVRE II. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES, ETC.

lion différentielle

(3) — = (//>sin}'</(logp;e).

Problème II. — Cherchons la courbe telle, que la projection de l'angle de contingence sur le plan normal à la surface suivant l'élément de la courbe soit proportionnelle à la projection de la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines sur la normale à la surface au point de la courbe.

Cette condition exige qae l'on ail, k éiant une constante,

— r= k dpë\w^,

ce qui donne l'équalion différentielle

Ifds--. rflog(p'i;), dont l'inlégralc esi

s, étant la constante introduite par l'intégration.

Si l'on cherche la courbe telle, que le rapport des mêmes projections soil proportionnel au sinus de l'angle que la tangente à la courbe fait avec la génératrice, on aura l'équalion différentielle dans laquelle a est une constante

adt = d\ogit'K).

Son intégrale est

(, étant la constante introduite par l'intégration.

Héliçotde à plan directeur.

Problème lll. — Trouver la courbe tracée surl'héliçoïde, telle que la courbure normale de celte courbe reste constante en un point quelconque de cette courbe.

Il faut introduire dans l'équation différenlielle (3) la condition que Ç est une constante b, et que la courbure - est égale

CHAl'lTRK h. — DES IIGNIÎS QUI Nlî DËI'ENDKM, liTC. r53

à une constante -; on obtient l'équaiion différentielle suivante entre 9 ei y

bdQ — acomydydidy i/û"cos'y — ■,- = o,

' ' ' V o'cos'y

dans laquelle les variables sont séparées^

Cette équation fera connaître y en fonction de Q; par conséquent, en éliminant y entre celte équation et la deuxième des équations (8) du n" 101, on aura l en fonction de 9.

105. Surfaces développables. — Ces surfaces sont engendrées par une ligne qui se meut de manière à rester constamment tangente à une courbe donnée ds'. Elles sont donc un cas particulier des surfaces réglées quelconques, et l'on passe de celles-ci à celles-là, en supposant que la plus courte dislance dp de deux génératrices infiniment voisines est nulle, y est alors constant et égal à un angle droit, dq devient l'élément ds' de la courbe directrice, c'est-à-dire de l'arête de rebroussement de la surface développable; si l'on prend toujours pour lignes coordonnées les génératrices recliligiies et leurs orthogonales, l'on a

rf(7 = tdi, d(T, — (/p, = ds' -i-di;

rffT, ilrr da' drj- __

L'équaiion différentielle {2) devient

(4) -[rrfE'4- [ds' -i- dty] — tdMdi = o,

et conséquemment l'on a

équation différentielle entre deux variables t et p.

Surfaces coniques. — Ces surfaces sont un cas particulier des surfaces développables, puisqu'il suffit de supposer que dans celles-ci lo courbe directrice est un point. On passera

l54 1-IVRE 11. — APPLICATIONS DES THËORIES l'^CÉUENTES, ETC.

donc des surfaces développables aux surfaces coniques, en posanl ds' nul. L'équalion précédenic devient donc

Problème IV. — Déterminer sur une surface conique une courbe telle, que le rayon de courbure de la section normale suivant l'élément de cette couine soit proportionnel à la longueur l de la génératrice rectiligne, comptée à partir du sont-

On a la condition, fr éiani une constanle, n = kt; on peut plus généralement supposer k égale à une fonction de p seulement. Ce qui revient à dire que ce coefficient conserve la même valeur sur la même génératrice ; on obtient alors l'équalion différentielle

la courbe cherchée a donc pour équation

dans laquelle p est la constante introdnite par l'intégration.

106. Surface de révolution. — Dans ces surfaces, -. étant nul, l'équalion différentielle de la courbe sera

Si la courbure - est une l'onction de la variable t seulement, l'on obiieni

ifiii no dépend (juc des qitadratnic

' Li('++")'-it'J

CHAPITHK II. — DES LIGNES QUI NE DÉPKNBENT, HIC. l55

Si la courbure - esi liée harmoniquemenl avec les courbures -! — par la relation

/( étant une constante, on aura î'équation différeotiolle

donl l'inlégiMle est

Qc étant la constsintc introduite par l'intégration.

^ ill, — Des lignes de coubhure.

107. Nous avons déjà défini ces lignes dans le Chapitre relatif à la courbure des surfaces (n"70). L'équation que nous avons trouvée est

Le premier avantage de cette forme est que le sens géométrique des différents coefficients s'y trouve déterminé, de sorte que, ces coefficients ne se rapportant pas plus à un système qu'à un autre, l'équation est, par cela même, écrite dans un système quelconque. Le second avantage est que ces coefficients se prêtent également à une traduction analytique qui facilite le passage de l'équation générale à celle qui se rapporte à un système particulier. Enfin le troisième avantage est que cette forme se prête naturellement à la recherche des lignes de courbure d'une surface quelconque.

Recherche des lignes de courbure. ~ Lorsqu'on écrit les équations d'une surface, on rapporte chaque point à un système de coordonnées; or le système que fon choisit de préférence est celui qui résulte soit de la définition de la surface, soit d'un de ses modes de génération. L'équation des lignes (le courbure que nous avons écrite nous apprend immédiatement si le système des ^ordonnées est celui dos lignes de

l56 LIVRE II. — aPI'LICaTIONS DES TnÉOBlES PRÉCÉDENTES, ÇTC.

courbure; car si le système esv rectangulaire, il suffit que l'on ait -j ^ o, et s'il ne l'est pas, que le rapport de l'un des coefficients extrêmes au sinus soîl nul [n''59, form, (3)]. It nous apprend aussi si l'une des lignes du système, rftr par exemple, est une ligne de courbure, car dans ce cas cette équation se présente sous la forme d'un produit de deux facteurs, dont l'un des deux est l'arc iIt, ei l'autre une expression différentielle du premier ordre et du premier degré. Si ni l'une ni l'autre des séries des lignes coordonnées ne se compose pas de lignes de courbure, on obtient une expression différentielle qui est du premier ordre et de second degré. Or celle équation est elle-même susceptible de se simplifier suivant la nature du système dont on a fait usage. Ces observations vont, trouver leurs applications dans les problèmes suivants.

PnEBiER c.\s. — Les deux: lignes coordonnées sonl'Ies lignes de courbure.

108. Problème V. — Lignes de courbure des surfaces de révolution.

D'après ce que nous avons établi au n" 89, le système des cooi données lignesméridiennes et cercles parallèles est orthogonal. Or nous avons déjà reconnu que la courbure -j de ce système (11° 105) est nulle; de là on conclut que le système des coordonnées est celui des deux séries de lignes de courbure de ta surface. C'est aussi ce que l'on aurait pu établir directement, en prouvant que sur ces deux séries de courbes deux normales infiniment voisines serenconirent.Onvoit que ces deux séries de lignes de courbure sont l'une et l'autre composées de lignes planes.

Pboblëbe VÏ. — Lignes de courbure de la surface engendrée par une courbe plane dont le plaît s'enroule sur un cylindre {surfaces moulures}.

Dans cette surface le système de coordonnées qui n'i'-^i présenté naturellement {n" 90) est orthogonal. Or on reconnaît que la composante normale -j de la courbure inclinée de l'arc rfo- est nulle, puisque le plan de celle courbure n'est