CHAPITRE ir. — DES LI<1»ES QUI NE DÉPENDENT, ETC

autre que le plan Uiiigenl, Le système de coordonnées c^Consl, Pt i;. = consl, est donc le système des lignes de courbure de la surface. Les deux séries de lignes de courbure sont encore des lignes planes, La série v = const. donne la courbe génératrice dans une de ses positions; la série i. = consi. donne une courbe parallèle à la directrice,

109. Problème VIL— Lignes de c-oiirbure. de la surface engendrée par une courbe plane dont le plan s'enroule sur une surface développable.

Si dans celte surface on prend pour système de coordonnées celui qui se présente naturellement : i" la courbe génératrice dans une de ses positions; 2" la courbe décrite par un point quelconque de cette génératrice, on reconnaît : 1° que le système est orthogonal, a" que la composante normale -j de la

courbure inclinée de l'arc de la seconde courbe est nulle, puisque le plan de cette courbure n'est autre chose que le plan tangent; le système des coordonnées est donc le système des lignes de courbure de la surface. On reconnaît aussi que les lignes de courbure de la première série sont des lignes planes, puisqu'elles ne sont autre chose que les diverses positions de la courbe génératrice. Quant aux lignes de la deuxième série, elles sont osculatrices de lignes sphériques.

Équations en termes finis des lignes de courbure. — Considérons une courbe directrice d^ et la surface enveloppe de son plan normal. Lorsque ce plan s'enroule sur la surface polaire de la courbe ds' , le point o qui se trouve sur la direcirice dans une des positions du plan s'y maintient, ce plan reste normal à la directrice, et la parallèle menée du point o à la génératrice rectiligne de contact lourne-autour de ce point, à chaque position infinitésimale, d'un angle égal à la flexion rfw de la directrice ds', de sorte que si l'on rapporte cette parallèle à la droite fixe dans ce plan, qui a été menée du point o parallèlement à la génératrice initiale de contact, la somme des déplacements angulaires sera 0.= j d<,>. Soit la courbe génératrice rapportée à rctic droite fixe on' et à sa perpendiculaire or', ci

l58 LIVRE ri. — APPLICATIONS DES THÉORIES PltÉCÉDENTBS, ETC.

soil «'^= 4'('^') l'équation de cette droite. Si nous rapportons un poini de celle courbe : i" à la droite on qui, dans h position que l'on considère, est parallèle à la génératrice de contact; 2" à la perpendiculaire or située dans le plan, on aura, en se reportant au n" 96,

j n — fii{v') cosii — t'sinû, *^' 1 t=i.'cosÛ-4'ft')slnÛ.

Or, comme dans la position que l'on considère du plan mobile, l'équation ( i ) du n" 9fi a lieu, on aura, en ayant égard aux équations (2),

(3) x = a;' + iC0s(!.,a7)H-ncos(/t,r) J3|,

dans lesquelles a/, y, 3' sont les coordonnées du poini o, el les autres quantités ont la même signilicalion que dans le numéro désigné. Telles sont les équations de la courbe génératrice dans une de ses positions, correspondantes à une valeur de V = const. , et les équations de l'autre ligne de courbure correspondantes à une valeur de t.' = const.

Différentielles des arcs coordonnés. — Noos avons calculé au n" 96 la valeur de t/s', mais dans cette équation il faut remplacer i et » ou son égal/(i) parieurs valeurs tirées des équations (2) précédentes. Or, si l'on remarque que ces dernières équations donnent par la différentiation

\ /'[^)f^ = [cosii4.'(.') + sinii]rf.' + .rf«, ''*' \ (/t=[cos£i-sinil4-'(,.')]flft'-/(^)(/w,

on obtient, par la substitution de ces valeurs dans l'équation ( 7.) du n" 96, l'expression

de là on conclut que, si l'on représente par S\.' le rayon de courbure de la courbe ds', l'on a

(6) clrr = {Sl' + ^)di, ^^,= !i + [4.'(t')?lV^';

le système est donc orthogonal comme nous l'avions reconnu.