CHAPITRE TI. — DES LIGNES (JUI NE IIÉPENDENI, EIC. 1 5y

Ces deux dernières équations sont évidentes, on aurait donc pu les obtenir directement.

Les équations (2) et (3) renferment les équations des lignes de courbure des surfaces suivantes, qui sont :

1" Les surfaces de révolution; la surface développable sur laquelle s'enveloppe le plan qui contient la génératrice, se réduit à une droite qui est l'axe de révolution.

2° Les surfaces moulures; la surface développable sur laquelle s'enroule le plan est un cylindre. Dans ces deux cas les lignes de courbure des deux séries sont planes.

3" Les surfaces engendrées par une courbe plane dont le plan s'enroule sur un cône; les lignes de courbure de la première série sont planes et celles de la seconde sont sphériques.

4° Les surfaces engendrées par une courbe plane dont le plan s'enroule sur une surface développable; les lignes de courbure de la première série sont planes et celles de la seconde osculatrices de lignes sphériques.

Pour obtenir les équations relatives au premier cas, il faudrait faire nuls l'angle Q, et les coordonnées x', y', z' ; dans le second cas, l'angle Q. serait nul; dans le troisième, le point décrivant reste à une distance invariable du sommet du cône.

liO. Surfaces développables, — Ces surfaees sont un cas particulier de celles obtenues dans le problème précédent. Il suffit, en effet, de supposer que la courbe génératrice est une droite. Soient les équations de cette droite qui rencontre la directrice

II' — usina, t.'— M cosa,

a étant une constante et u une longueur variable, on trouve alors

da = [^' -hx.]di, df^ — du, t = HCOs(a -t- ii);

les lignes de courbure sont donc la génératrice u dans ses diverses positions et les trajectoires orthogonales de cette génératrice sur la surface développable engendrée par w. La droite « s'enveloppe sur la surface développable donnée et forme l'arête de rebroussement de la surface développable engendrée par M, et cette arête est une développée de la courbe direclrice ds'.

itJO I.LVRK II. — APPLIC.ITIOJIS IIRS THÉORUM PliÉCÉIir.NTES, ETC.

Si la rfroiia «, au lieu de passer par un point de la courbe directrice rfs', a une position quelconque dans le plan, l'on aura, a étant une constante,

II' = t.' ianga-4- a,

l'on aura donc les équations des lignes de courbure de la surface tJéveloppable engendrée par ïa droite

«cosa— t'sin (a + ii) -I- iicosacosli, icosœ r~i,'cos(« + 0) — «cosasinû.

Les équations (6) deviennent

On a donc une surface développable dont l'arête de rebroussemenl est située sur la surface développable proposée et forme une développée d'une courbe parallèle à la directrice rf*'. Ainsi les développées de toutes les courbes parallèles à une courbe donnée sont situées sur une même surface développable.

Surfaces coniques. — Lorsque la surface développable sur laquelle s'enroule le plan qui contient la droite est un cône et que cette droite passe par le sommet du cône, elle engendre un autre cône. Les lignes de courbure du cône soni donc les génératrices recUlignes et leurs trajectoires orthogonales; or chaque trajectoire orthogonale est toujours à la même distance du sommet, puisqu'elle est engendrée par un point de la droite qui passe par ee sommet. Donc le second système de lignes de courbure se compose de lignes sphériques, le centre de la sphère étant au sommet du cône.

Généralement, quelle que soit la position du point dans le plan mobile, il reste à une distance invariable du sommet; donc il engendre une ligne sphérique, et toutes les développées de cette ligne se trouvent sur la surface du cône. On conclut que si une ligne est sphérique, toutes ses développées ainsi que les développées des lignes parallèles de la proposée sont situées sur la surface d'un cône. Ce qui est un théorème connu.

CIUPITHK |[. — UE3 LIGNfiS QUI NE DÉPBNUENT, ETC. 161

111, Problème Vlil. — Lignes de courbure de la surface engendrée par une courbe plane qui se déforme d'après une loi donnée, pendant que le plan s'enveloppe sur une surface développable.

Le problème ne diffèi'e du prépédeni (11° 109) qu'en ce que, à la place des équations (2) du numéro cité, l'on a

1 M= n'cosîi -f- i-'sinû, '*' 1 ..^v'cosii-n'sinQ,

dans lesquelles n' et v' sont des l'onciions arbitraires de deux variables, l'une c et l'aulre m; on obtient par la différentialion, dn', d-J éiani les différentielles complètes par rapport aux deux variables v et u,

da = cosùdn' -h sinQd-J -•- vd<,t, dx,-= cos Qd t.' — sin£i dn' — ndai.

Si l'on porte ces valeurs dans l'expression de ds' {n'96), mise sous la forme

ds-

' = ( rfi' + uhy -i-(^du> — dny-h(n.

on obtiei

it

ds'—^ ( ds' H- ^ds)' H- dn'' + d^

conséqu(

imment

i^'^-lS-ë)*.

/dn' dn' d'J dt-''

dudv.

Surface engendrée par un cercle dont le rayon est variable, pendant que son plan s'enveloppe sur une surface développa- Me. — \\ faut, dans le calcul précédent, poser, en représentant par/(c) le rayon variable.

yGoosle

102 I.IVHK II. - Ai'I'I.ICATlOiSS DUS CIIÈORIES PRÉCÉDENTES, ETC.

ce qui donne, par suile des formules (a) et (3),

COSCp ::=0.

Le système est donc orthogonal; de plus, la composante normale -j de la courbure inclinée de l'arc (la est nulle, puisque le plan de cette courbure est le plan tangent à la surface. Le système des coordonnées v = const-, u = consi. est donc le système des lignes de courbure; la première série y = const. est composée de cercles. 11 est facile de reconnaître que celte dernière surface est l'enveloppe d'une sphère dont le centre parcourt la courbe directrice ds', et dont le rayon varie d'après une loi donnée /(y).

On a supposé dans le calcul précédent que le centre du cercle générateur se trouvait sur la courbe directrice rf/; mais on aura les mêmes résultats si l!on suppose que le centre se trouve en un poifit déterminé du plan qui s'enroule sur la surface dévelopjftble, cela revient à dire que ce centre parcourt une courbe parallèle à la courbe directrice ds', et que son rayon varie d'après une loi donnée.

Surfaces canaux. — Lorsque le rayon du cercle générateur est constant, la surface engendrée est une surface canal. I! n'y a qu'à supposer dans le calcul précédent le rayon du cercle /(") constant, dans les formules précédentes (2).

Les lignes de courbure d'une série sont donc des cercles égaux entre eux, et les lignes de courbure de l'autre série sont des courbes parallèles à la directrice ds'.

Deuxième cas. — L'une des lignes coordonnées est une ligne de courbure.

112, Si l'une des lignes coordonnées est une ligne de courbure, et l'autre est quelconque, l'équation diCférentielle passe au premier degic.