CHAPITRE H, — TIKS UtiNES QUI NE Dfil>E^DB^T, ETC

En effet, si d(T est une ligne de courburo, l'on a la condilon -- := o, laquelle entraîne l'écination

Or, si l'on élimine -. eiilre cette éqnalion et l'équation (t) du n° 107, on trouve

(- )((/(7i cosy H- fin) du, ■— o;

le fadeur ( A ne peut pasèire généralement nul; il faut

donc égaler à zéro l'un des deux autres facteurs. Si l'on pose rfff, nul, on trouve pj = coiist. : c'est la ligne de courbure dont du est l'arc élémentaire, c'est-à-dire l'une des deux lignes coordonnées. Si l'on pose

da, cos^ + (/(7 = o,

on a l'équation de l'autre ligne de courbure, et l'on reconnaît que c'est la trajectoire orthogonale des lignes coordonnées de la série pi-

113. Problème IX. — Lignes de courbure de la surface hélicoïdale dont la courbe génératrice <^ est donnée par l'équation différentielle

Ij. étant une constante.

On trouve les relations suivanies :

d<T', — ^dl\ dff-'-j:{a'+t')de-; cos<fd>7d>7.= -^-^'-f^d6dt. Or, si l'on i':alcule la deuxième courbure géodésique -^ de

l64 LlVKl! H. — APPLICATIONS 1»1!S THÉORIES PHÉCÉDENIES, ETC.

la courbe da„ d'après les formules du n" 58, on trouve que celle courbure esi nulle. C'est d'ailleurs ce que l'on verra au numéro suivant; de là résulte que la ligne coordonnée rfo-, est une ligne de courbure. Donc les lignes de courbure de l'autre série seront les trajectoires orthogonales de la courbe da,; d'après cela, on aura

étant

L'intégrale de cette équation, S» étant une constante arbitraire, s'obtient directement

„(9-l-0,)^y.lo

on en déduit

qui est l'équation en termes finis de l'autre série de lignes de courbure.

TiiOisifeHE CAS. — Les deux lignes coordonnées sont quelconques.

114. Pboblèmi! X. — Lignes de courbure de la surface hélicoïdale quelconque.

Si nous nous reportons aux équations du n" 85, nous, avons

riar cos S dy sin 0 dz <]>'

rfâ\"~ ^i + i^''' dtj, ~ ^Jl.^. (f," drr, ^T+lyi'

dx tsinO^ êZ— A^iliL ^ — ^^

da ~ ^d'+t=' d^'^ ^/a'-(-;'' d(7 ^a'-hl'^ cosfdtrdai^^w^'dOdt;

d / d3:\ i)^'4'"cos0 d f dx\ tcos$

d^,\dF,) ^JVTY^' Ta\d^j~'' a'+f' Jl.( ÈL\ 'VY__^^ ^ (^\ — 'sine

d (dz\ ■]/" J(^\^

yGoosle

DHAPITHE 11, — DES LIGNES Ql!l NE DÉPËKHÏNT, ETC. i'

d 1 dx\ ~ sinS

da \d(T,}~ ^/i+ .|,"\/^TT=' d I dx\ cosS

da-\dfTj~\ji + i|j"^/rt'+(''

Soient X„ V,, Z, les cosinus des angles de la normale ù surface, avec trois axes, et posons, pour abréger.

l'on a

(iijj'cose — rtsinô) (^^j;'sille+«c ose) t

D'après ces formules, on trouve

cos[n,a.,) lY cas.{n,S\.) V^j'

en portant ces valeurs dans l'équalion générale des lignes de courbure, on trouve

dans laquelle les variables sont séparées, ei qui par conséquent ne dépend que des quadratures.

Cas particuliers, i" HéUçolde à plan directeur. — Il faut poser i|j = consi,, on obtient

que nous avons déjà trouvée n" 85, et dont l'intégration est, jM étant la constante d'intégration.

l66 UVRr II. — APPLICATIONS UES THÉORIES PRÉCÉDENTES, ETC.

■j" Si réquaiion différentieiie de la courbe génératrice '^ est </i}j' tdt

l'iniégralc première de celle courbe est, c éiani la conslanle del'intégralion,

,Ji — «'(«' + P) ei l'équalion différenlielle des lignes de courbure devieni dt

3" Si l'équation différentielle de la courbe géncralrico osi i|j'(/i}j' dl

une première intégration donne, y. étant la constante de l'intégration,

dt ,

Or, si l'on remarque que l'on a

on trouve, c étant la constante introduite par l'intégration,

qui est l'équation de la génératrice.

On trouve pour équation différentielle des lignes de c bure

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