II.- dt

dont l'intégrale est

P- + vr-'-

yGoosle

qui esl l'équaiioii en termes finis de ia projection des lignes de courbure sur le plan des x, y.

115. Équation des lignes de courbure dans le système cartésien. — Cetie équation se déduit en quelque sorte iotuilivemeni de l'équation générale; il n'j a qu'à apprécier les arcs des lignes coordonnées déterminées sur la surface par les deux plans x^p, x= p,, et les courbures normales propres ou inclinées de ces arcs : on obtient immédiatement, en appelant/», q, i, s, t les coefficients différentiels du premier et du second ordre de s,

da'=l

:i+p-)iip;

f/p= = [n-9=}rfpf, dada.cos'^-pijdpdp,

dp- r

■ ^cos{ii,s), -^' — :=/COS(«,S), dp', r,

df[pqt-s{i + q')\

+ dydx[{i + p')t — (i -i- q']^]^ dx%i -\- p')s - pq^]^ Q,

que l'on peut écrire sous la forme suivante, le signe d indiquant une différentielle complète,

(dx -h pdz]dq — {dy -+- qdz)dp -—o.

On l'obtient direclemeni en exprimant que deux normales aux points infiniment voisins

{x, y, 3), [x -\- dx,y --h dy, z-i- dz) se rencontrent.

116. Sur/aces coniques, s -. px -h qy. - On lire de relie équalion dp -. - — dq; en svibsliluaiU dans l'éqiiiH ion pré-

l68 LIVRE II. — APPLIOAÏIONS DES flIÉOBlES TRÉrfiDEN l'ES, KTfl.

cédenle, l'on a

dg[x{pdz -+- dx ) -\- x( ^ dz- -h c/r)] = (>. Le premier lacieur donne

dont l'inlégrale esi z =^ jj.}-, fx éiaiii la conslante d'inlégralion ; le second facteur donne

X dx -(- ydy -\- zdz =zo, dont l'intégrale est, fji étant une seconde constante,

Ainsi une série de lignes de courbure se compose des in-, lersections du cône et des sphères concentriques au cône, et l'autre des intersections du cône avec des plans passant par l'axe. C'est ce que nous avions déjà trouvé.

117. Surfaces de révolution. — L'équation dos surfaces de révolution est (n* 89)

on déduit

qui est l'équation aux différences parlielles; on déduit de même

Si l'on porte ces valeurs dans l'équation, on obtient qui s'écrit soits la forme

rnAPITRE II. — DES LIGNES QLl NE DÉPENDENT,

Le premier fadeur égalé à zéro donne

a étant une conslante.

Le second facteur égalé à zéro donne

b ciani une nouvelle constante.

Donc [s — b) est une fonction ï, ce qui donne une surface de révolution autour de i'axe des z, laquelle ne peut rencontrer ta surface de révolution proposée que suivant un parallèle.

Ainsi les lignes de courbure sont les courbes méridiennes et les cercles parallèles.

118. Dans le cas qui nous occupe, c'est-à-dire lorsque les lignes coordonnées ne sont ni l'une ni l'autre lignes de courbure, la recherche de ces lignes se trouve simplifiée par l'introduction de certaines autres lignes coordonnées :

i" Lorsque les lignes coordonnées sont deux séries de lignes asympioliques; alors les courbures -i — étant nulles, ['équation des lignes de courbure se réduit à la forme binôme

Dans ce cas les lignes de courbure sont les deux bissectrices du système. C'est ainsi que les lignes bissectrices des angles des génératrices rectilignes de l'hjperboloïde à une nappe, que nous avons étudiées au n" 83, sont les lignes de courbure de cette surface. Il en est de même des bissectrices des angles des deux séries de lignes asymploiiques de l'héliçoTde gauche à plan directeur, ces deux séries étant les génératrices rectilignes de la surface et leurs trajectoires orthogonales. On obtient donc les équations des lignes de courbure en faisant m égal à I dans les équations du n''85. Appliquons encore ces considérations à la solution de la question suivante.

170 LEVnn II. — A L'I'Li CATIONS DES THÉORIES PRÈCÉbENTKS, El'C.

l'iiofii-ÈME XI. — Lignes de courbure du parnbolotde hyperbolique.

Soii le paraboldïde donné par réquaUon i = inxy.

Si nous prenons pour lignes coordonnées les rfeux sv^sièmes de généralrices rectilignes dont les équations sont ^ = p, r = p,, on trouve

d/7 = dp\Ji H- ni'pî, da, = dç,\ji

de là résulte que l'équation différentielle des li bure est

Klle a pour intégrale, u étant la constanie de l'intégralioii,

Si l'on remplace p et p, par leurs valeurs, et qu'on chasse les radicaux, on obtient les deux séries de coniques

dans lesquelles le signe supérieur se rapporte à une série de lignes de courbure, et le signe inférieur à l'autre série. Ces coniques satisfont à cette condition qu'elles sont concentriques et que les diagonales des rectangles construits sur les axes ont la même longueur pour toutes les coniques des deux systèmes.

119. 2" Il n'est pas nécessaire que les deux lignes coordonnées soient asymptoiiques pour que les deux lignes de courbure, soient les deux bissectrices du système; il suffit que les courbures normales des lignes coordonnées soient égales; alors on tombe encore sur l'équation ries bissectrices.

CUAl'ITIiK 11. — UL'S LIGNKS QLT

ROBLÈjiE XII. — Lignes de courbure de la siiiface. — as — ]ogCOs[a{x -+- a]]coii[a{y-+- ^}], g=laiig[«(,^^«)]cos[«(7 + P)].

^-tangWr + P)]cos[«(^+«)].

d'z __ acos[aix-\-^]] d'z __ acos[a{x + a)-\ dx'' COS'[«[;r + o:)] ' rfj= ~ ca¥?{a[y -y- P)] '

D'après ces valeurs, on reconnaît que les valeurs -> -» en appliquant tes fornaules (17) du n" 52, sont égales.

De là résulte que les équations des lignes de courbure de la surface sont

ày ^ -j- '^^

cos[a(r-i-""p")l cosf«[:cH-î:)]'

dont les intégrales soni, [j. cianl la constante d' intégra lion, les équations suivantes :

lang tang

120, 3" Si l'une des deux lignes coordonnées est seule asjmptottque, l'équavion des lignes de courbure prend la forme

(1) rfîrf ■+ - dadi7,~ da' = o,

Conoïde droit. — Soit l'équation du conoïdc

; — ■Jj(iaiigâ), lange — ■■^. 7=- ^x'-t-y'.

Prenons les coordonnées Û = p, r^p, ; on trouve alors, en ope-

173 LIVRE 11, — APPLICATIONS DES THËOBIES PHÉCÊEENTJSS, ETC.

ram soit géométriquement, soit analyliquemeni,

et l'on retombe, dans le cas de j'iiéliçoïde gauche à plan directeur, sur l'équation c

Surfaces réglées quelconques. — En ayant égard aux relations établies au n" 101, l'équation f i) du présent numéro devient

{dt-hdq){dy — du,)-h dsdp:=Oi

or, si, au moyen des relations (i i) du n" 101, on élimine y de celte équation, elle ne renfermera plus que les variables p et /, et l'on aura

^dp' Iv^P dp) dp '''dpjdp

■ l dpflp^\dpdp rfp^p/' ^ 'J" '

si l'on divise par ^, l'on voit que les coefficients des deux derniers termes sont des trinômes du second degré en (, dont les. coefficients sont des fonctions de p. Celte équation, dans le cas général, n'est pas iniégrable.

Dans le cas des conoïdes, il faut poser (/w ei dqna\s, et alors, l'équation devient

rfp' dp dp dp dp

qui concorde parfaitement avec celle que nous venons de trouver directement.

g IV. -- Des li(;nes doivt la beuxièhe couiibure géodésique

KST DONNÉE.

121. Équation différentielle. — Si dans l'équation (2") du n" SS on suppose que y représente ime fonction quelconque