DES LIGNES QUI NE DÉPENDENT, ETC
donnée, on aura l'équation dilTérentielle des courbes tracées sur la surface telles, que la deuxième courbure gcodésique sera égale à cette fonction. Cette équation différentielle du premier ordre et du second degré est
Si le système des coordonnées est rectangulaire, cette équation devient
si les lignes coordonnées sont les lignes de courbure de la surface, cetlo équation se réduit à
Problème XIII. — Ti-ouver tes lignes tracées sur une surface de révolution telles, que leur deuxième courbure géodésique égale une fonction donnée de t, n° 89.
Si l'on pose, pour abréger, l'on aura, d'après le n" 103,
V /,!/ il/' \
et l'équation différentielle de la courbe sera
iablcs sont séparées.
174 LIVRE li- — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES, ETC.
Cas particuliers. — Supposons que la surface de révolution est un tore dont l'équation est
dans laquelle a et « sont des constantes; F devient égal i de sorte que l'équation différentielle de la courbe sera
iV«'-('-«r
1° Si la deuxième courbure géodésique ^ est proporlionnelie à la tangente de l'angle que le rayon mené de l'origine au point de la courbe fait avec l'axe de révolution, on a la
kz conditionV^ — i k étant une constante; l'iniégraie de l'équation précédente, B, étant la constante de l'intégration, sera
' ka
(So- e);
ainsi la projection de la courbe sur le plan des xy est une spirale parabolique.
1" Si V est proportionnel à la distance ( d'un point de la courbeà l'axe de révolution, on trouve la trajectoire des lignes méridiennes sous angle constant.
3° Si V est proportionnel au carré de t, on trouve la spirale sinusoïde pour projection de la courbe. Cette spirale a pour équation
( — œ ^ a sin
fa» ,
4^ Enfin si V est proportionnel au rectangle tz, ou trouve la spirale logaritbmique,
g V. — Dus LIGNES CONJUGUÉES.
122. Lorsqu'une ligne est donnée sur une surface, l'équation différentielle des lignes conjuguées est du premier ordre, et dépend généralement des composâmes normales des
CHAPITItË II. — DBS LIGNES QUI «B DÉPENDENT, ETC. 175
courbures propres ou inclinées des lignes coordonnées. Nous avons déjà donné cette équation différentielle au n" 72. Nous allons l'appliquer à quelques exemples, se rapportant aux courbes ellipsoïdales. Mais avant, i) nous faut connallre les expressions du rayon de courbure des lignes coordonnées elliptiques.
Diamètres. — Normales. — Rayons de courbure de l'i-Uipsoïde en coordonnées elliptiques. — Pourabréger, nous représentons par h' le volume du paralléiipipède construit sur les trois demi-axes de l'ellipsoïde; par D, D, les demi-diamètres parallèles aux directions de deux lignes de courbure en un point; par M la distance du centre au plan tangent: or, si on exprime cette distance en coordonnées elliptiques, u" 9'2, on trouve
j^ ll
Le volume du paralléiipipède construit sur les trois demidiamètres conjugués étant constant et égal au produit des trois demi-axes, il résulte que le dénominateur de M représente l'aire du rectangle construit sur les demi-axes de la section diamétrale parallèle au plan tangent; or la première des équations (2) du n" 92 peut s'écrire
l. + [-t:'~b-'] + {l'~c') = x^ + y^+ z^ + [7:'- lj}] + {V-v^).
Le premier membre est la somme des carrés des trois demiaxes de l'ellipsoïde, laquelle égale la somme des carrés des demi-diamètres conjugués d'un système quelconque; donc, si l'on retranche du second membre le carré du demi-diamètre conjugué du plan tangent, lequel esta:'-f-7=-f- 2', la partie restante du second membre exprimera la somme des carrés des demi-axes de la section diamétrale parallèle au plan tangent : on a donc les deux équations
D=D;^(V-f^^){>'-v'), DM- \i]--{V-a'] + {l-'-v'],
desquelles on déduit
Calculons maintenant le rayon do courbure d'une ligne quel-
1^6 LIVKË il, — APPMCAllONS DUS TllÉOillES PRÉCÉDENTES, ETC.
conque ellipsoïdale; soienl 1, h, h les trois demi-axes de l'ellipsoïde, son équation en coordonnées rectangles est
£^ Zl .^ —
Si l'on différeniie deux fois de suite celte équation par rapport à un déplacemeni ds effectué sur la courbe, on a l'équa^ lion
Y' 7h \~ih) '^ti ds\ds)'^ll ds \<ls j
, dx^ dy' dz' __ 'Pds'' },]ds' ï.lds'
Or la somme des trois premiers termes est la composante normale de la courbure, divisée par la distance du centre au plan tangeni, et la somme des trois derniers est l'inverse du carré du demi-diamètre S) parallèle à l'élément de la courbe;
on a donc, en appelant — cette courbure normale.
Si maintenant on suppose que l'élément ds coïncide successivement avec da et di7„ et que m,, m, représentent les rayons de courbure des seciions normales suivant di et rfcri, on a
, [X'-^')MX'-,^-=) , (>.' - ij.'y(7?-vn
Enfin, appelons N„ Nj-, N, les segments de la normale à l'ellipsoïde, terminés aux plans coordonnés du système cartésien, perpendiculaires aux axes des x, y, z, on trouvera direclemenl
jL - ^Jl' - '■'-"'
lesquelles donnent l'expression de ces normales en coordonnées elliptiques.
Des lignes conjuguées ellipsoïdales. — Nous prenons poui lignes coordonnées de l'ellipsoïde le système des deux séries
s 11. — BES LIGNES QUI NE BÈPKNDRNT, EIC- I77
de lignes de courbure; or, dans le cas d'un système de lignes de courbure, l'équation différentielle des lignes conjuguées dune courbe donnée est l'équation (2} du n" 72
le rapportl-^j étant tiré de l' équation de la courbe donnée; de là résulte que si l'équation rie celte courbe est ( n" 91 )
-j- d,j.+ — dv7=o,
l'équation différentielle de la courbe conjuguée sera ' u? — /' du. y' — ?' dv
dii. ^ ' ' dv
Si l'on compare cette équation à l'équation différentielle (5) rie la trajectoire orthogonale de la même courbe, qui a été donnée au n" 92, on conclut que l'on passe de la seconde à la première, en divisant le premier terme de la seconde par Çk^—y?), et le second terme par (^' — u').
123. Applications : i" Courbes conjuguées des lignes cylindro-elliptiffues. — En se reportant au n" 93, ei en usant de la remarque que nous venons de faire, on trouve pour l'équation différentielle ries courbes conjuguées des lignes cjiindro-elliptiques
{ix^ +l')dy. (v' + ;')rfv ^
fc(fA'-6M(F=~';') ''(i'=-è')(''=-c=) "
Cette équation difîérentielle ne diffère pas de l'équation différentielle de la irajecloire orthogonale des sphéro-coniques, pourvu que, dans celle-ci, l'on change ( n" 94 ) A' en — /'. Donc
l'équation des courbes conjuguées ries lignes cjlindro-ellipti ques sera (numéro cité)
iP Caitrhes conjugiiées des s/jlifiro-i:oniqui-s. ~ En se repor-
158 UVliE II. — Al'PLlOATIONS DBS THÉORlliS PBÉCÉDENIES, ETC.
tant DU n^gi., on imuve que l'équation différentielle de oes lignes est
dont l'intégrale est, en passant aux coordonnées rectilignes,
^i^-iî jV'-).; j^î-i' ^ consl.
Les exposants ne dépendent que des dislances focales. Celte surface sera la même lorsque les sphéro-coniques seront tracées sur des surfaces liomofocales de l'ellipsoïde proposé. Donc les interseclions de la série des surfaces que nous venons de trouver avec une série de surfaces du second.degré liomofocales à l'ellipsoïde, sont, sur chacune de ces surfaces, les conjuguées des sphéro-coniques. Oii déduit de là la proposition suivante :
Théorème. — Une série de surfaces données par l'équation précédente et une série de sphères concentriques tracent sur chacune des surfaces du second degré homofocales de l'ellipsoïde un réseau de courbes conjuguées entre elles.
3° H sera également facile de déduire de ce qui précède les courbes conjuguées des intersections faites par des pians parallèles à l'un des trois plans principaux de l'ellipsoïde, car, en se reportant au n" 93, on voil qu'il suffit de changer dans l'équation traitée au commencement du présent numéro, successivement l' en — e", —6% et o, pour obtenir les lignes' conjuguées des intersections faites par des plans perpendiculaires à l'axe minimum, à l'axe moyen, à l'axe maximum de l'ellipsoïde; on trouve ainsi les trois équations
-^ consl., —=: consl., - ^^ const.
On déduit de là que tes inlersections faites par une série de plans perpendiculaires à l'un des trois axes de l'ellipsoïde ont pour lignes conjuguées les intersections faites par une autre série de plans qui passent par cet axe.
12^.. PnoBi.t!ME XIV ( question inverse ). — Trom-er h-s Hgiu-s
IIHACITIIE LI. — DES IIUNKS QUI NE DÉITNUENT, WtC. 179
conjuguées des intersections de l'ellipsoïde avec la série des surfaces contenues dans l'équation suivante, dans laquelle a, (3, y sont des constantes :
x'y^ z'i^ cons[.
Si l'on passe aux coordonnées elliptiques, et qu'on prenne la dilYérentielle, on obtient
or si, pour abréger, on pose les relations
«+^ + 7=/. l>Hcc + y) + c'{:, + ^] = g, ccb^c'=./,, l'équation différenlielle des courbes conjuguées sera
fl^' ■+- â-,"' + /' ^ 7^+ gv' + h ~ °' dont l'intégrale est
arc ( tang — -~-~
Si l'on prend la tangente irigonométrique des deux membres, el qu'on revienne aux coordonnées rectilignes, on obtient l'équation
X' -i-y' + z'~ B' = /f(BJ~ Aa:' — r" — z'),
dans laquelle A, B, B, sont des fonctions des constantes de la question x, p, y et des axes de l'ellipsoïde, et k est la constante introduite par l'intégration. Celle équation représente une série de surfaces assujetties à passer par- l'intersection d'une sphère ei d'une surface' du second degré concentriques : on reconnaît que cette intersection est un cercle. Cette série de surfaces coupe la surface ellipsoïde suivant des courbes conjuguées des'courbes proposées,
125. Problème XV. — Courbes conjuguées des sections circulaires de l'ellipsoiile.
l8o LIVRE II. — APPLICATIONS DES TBÉOBIES PRÉCÉDENTES, EIC.
Si l'on opère sur l'équation différentielle de ces sections qui est
dp . i.h
s/c' — jj.' v/t' — "' on obtient pour équation différentiel le des conjuguées
Gomme l'intégrale de cette équation ne rentre dans aucun des types précédemment trouvés, nous indiquons la marche à suivre : on prendra, pour intégrer le premier terme, une variable auxiliaire f liée avec fj. par la relation ,w — csinqj; ce premier terme devient
df
b' + {b^ — c')tang-cp qui est la différentielle exacte de la fonction
cl tang= ^ — tang9 I;
donc l'intégrale de l'équation différentielle proposée sera, en revenant aux variables fi et v,
arc ianîï=;' — - — ■ — -carcf tane^ — h= const.
Si, maintenant, on prend la tangente trigonomélrique des deux membres, et qu'on élève au carré en représentant par k une constante, on trouve
= k^ [b^ i/i?^^^. ^-^jrzr^' + ( è. ,. ) p j^
si l'on passe aux coordo'nnées rectilignes, on obtient l'équation d'une surface du second degré que l'on peut écrire sous la forme suivante, k.> étant une nouvelle constante :
yGoosle
CnAPlTnE II. — BKS LIGNES QITr NE IlfiPENIlENT, ETC. lOI
Elle représente une série de surfaces ayant une même courbe de contact, laquelle n'est autre chose que l'intersection du plan des sections circulaires de l'ellipsoïde donné, passant par l'axe des y, et d'un ellipsoïde concentrique , ayant même axe maximum, même axe suivant oz et dont l'axe suivant oy serait v'^'— à' ~ c .
Ces surfaces coupent l'ellipsoïde suivant une série de courbes planes qui sont les lignes conjuguées des sections circulaires. Ces courbes planes sont données par la série des plans dont on obtient l'équation, en retranchant l'équalion de l'ellipsoïde proposé de l'équation précédente :
g __r__ ^ / bz — '^v^'-"^^^ "\^q
Il est aisé de reconnaître que tous ces plans passent par une des deux droites qui est l'intersection du plan des zx et de l'un des deux plans des sections circulaires de l'ellipsoïde proposé qui contiennent l'axe des y. On déduit de là le théorème suivant :
TnÉOHÈaE. — Si par chacune des deux droites d'intersection des deux plans des sections circulaires qui passent par l'axe moyen de l'ellipsoïde, avec le plan de la section principale moyenne de cette surface, on mène tous (espions possibles, leurs intersections avec t'ellipsoide seront conjuguées des sections circulaires.
