CHAPITRE m
DES LIGNES QUI DÉPENDENT DES COURBURES TANGENTIELLES DES LIGNES COORDONNÉES.
126, Les lignes qui dépendent des courbures tangemielles propres ou inclinées des lignes coordonnées sont généralement exprimées par des équations différentielles du second ordre; mais elles ont ce caractère essentiel qu'elles ne dépendent que des variations des paramètres différentiels du premier ordre, ee qui permet de composer ces équations dans un système quelconque dès que l'expression du déplacemeni ds est connue dans ce système.
§ 1. — De la ligne géobésique.
pBOflLJUNQ I. — Quel est le plus court chemin sur une surface
entre deux courbes. S„ et S, tracées sur cette surface [Jig. 1 1)?
Fîg- II.
Soit drj l'élément de l'arc de la ligne cherchée A^ A,, il Caut que l'on ait
CHAPITKE l|[. — DES LIGNIiS QUI
ce qui donne
or, l'on mène une série de lignes orthogonales onirc A„ Aj et sa position infiniment voisine; soit rfo-, l'clcmenl de ces orthogonales, l'on a, d'après le n" 29,
d'une autre pari
{dT), = dS,cos[dS,,{d^),], (d<T],= dS,c.os[dS„ida)«]: donc l'équation précédente deviendra
<JS,cos[rfS„(t/<7),]-(/S„cos[rfS.,(<irr).]+ r'~2^=o.
L'intégrale devant èire nulle quel qucsoitrfffL,et la partie indépendante de l'iniégrale devant être nulle, quels que soient rfS, et dS„, l'on a les conditions
— o, CQs[d?,„ [do- j,] — o, cos[rfS„(^cf),]=o;
donc, la ligne minimum est celle dont la courbure tangentielle est nulle. C'est la ligne géodésique. La condition relative aux. limites est qu'&lle soit perpendiculaire aux lignes So
etS,.
pBOBLÈiaE II. — Trouver un point sur la courbe S,, tel que lu somme des chemins A„ Ai -+- A, As parcourus sur la surface de vu point aux lieux courbes S,, S„ soit un minimum [Jig- la).
l84 LIVRE il. ~ APPLICATIONS DliS TBÈOBIES PRÉCÉDENTES, ETC.
Soit ÉÎff rélément du chemin parcouru A, A,, eidu' l'éléiiienl du chemin A, A,; il faut que l'on ait
donc, en raisonnant comme nous venons de le faire, nous trouverons rfS.cos [id<T)„ dS,] ■+■ rfSi j cos[rfS„ (da],] + cos[rfS„ {drj' ), ] !
+ dS, [cosdS,, ( da' )J + / ^ +j — ^, — = o.
On a donc deux arcs géodésîques A, Ao + Ai A;, et la condition relative aux limites est qu'ils soient orthogonaux aux lignes extrêmes So, Si, et qu'ils tassent sur la courbe moyennes,, l'angle d'incidence égal à l'angle de réflexion.
Les conséquences sont nombreuses, nous y reviendrons plus tard.
127. Équation différentielle de la courbe géodésique. — Si dans l'équation ( 7 } du n" 49, nous supposons la courbure tangentîelle p nulle, nous aurons
(!) rf,(âf£7,COS[3)-f/,[rf^00Sa)=:O,
qui est l'équation la plus simple des lignes géodésiques, bien qu'elle se rapporte à un système quelconque de coordonnées. Si l'on développe les différeniiaiions après avoir remplacé du et da, par leurs valeurs H</p, H, rfp,, on trouve
— -, mon —, — — lit aiii yi —, 11 mil Li. —j— ,
rfp </p, 'dû dp,
/Hrfp H, rfp,
,/pl
