CHAPITRE III. — DES LIGNES QUI DÉPENDENT, ETC. Id
qui est l'équation différentieUe des lignes géodésiques. L'élimination de et Cl |3 de cette équation, au moyen des relations {2), dans lesquelles tp est une fonction connue de p, p,, porterait celle équation différentielle au second ordre, mais il est plus commode de la laisser sous cett« forme. Si le système est orthogonal, elle devient
(3 ) cos'« „ , ■ dût — sin'a- „ - ,- </p — sina;cosaa(Z=:o, Hapi '^ H,dp '^
da étant la différentielle complète par rapport à p et à p,.
128- Intégrales premières^ — 1° Si l'angle 9 est constant, et H ne dépend que de p, l'on peut toujours supposer H = i , ce qui revient à prendre o- pour paramètre, et, en remarquant que
<;« . de ,
réqyation (3) devient
rfH, sm(idfi
rfj3 étant une différentielle complète; on
a donc
, si H, ne (lé
pend que de p,
(4) H, cos(3 = const.,
ce qui est une intégraîe première.
... . .-,„, .... ,.,... , cosS
Lequation{3)peutaussi s écrire, après élimination de -77-— 5 '
au moyen des relations [i) du n° 44, sous la forme
,„„, rfH, / , coso , \ . ,,
'^ ' ~di ( ^' ^ ~w~ n "^ ^'"'^'^^■
Or, si H, est de la forme pijj (pi), celte équation devient
laquelle donne
(4') [3 sin^ — C0S9 logp - i 'if {p,)dp, .:^ c
yGoosle
iOb LIÏRE 11. — APPLICATIONS DES THÉORIES PHÉOÈDEBTES, ETC.
2" Si f est variable, el ne dépend que de p, l'équalion (4) a encore lieu; en eiïet, l'équation différentielle (3") a lieu
pourvu que l'on retranche de rf[3 le terme --p dp; l'on oblienl
ainsi
dM, , sinfcp — ^) { d<a , , \
H , dp "^ cos ( <p — a ) \ rfp '^ /
Or, elle est intégrable, si tp et H, sont des fonctions de p seulement; on obtient ainsi
Hi cos(cp — a)= const.,
ou, ce qui esl la même chose,
II,cos|3^ const.
3" Cherchons les conditions d'intégrabililé de réqualion (3' ). Soit l'intégrale de cette équation
il faut que l'on ait, après que les dénominateurs de l'équation [ 3 ) auront été chassés, les trois conditions suivantes :
dUU , H,dU dHH, Ht/H,
dp, ~ ' dp, dp ~~ dp
d {^,da\ d (lidU,\
dp \ dp, ) dp, \ dp J
Or les deux premières seront satisfaites si II =; H,, la dernière condition devient alors
dnp
l'intégrale de cette dernière est, 4* ci <l>, étant des fonctions arbitraires,
Si l'on adopte ces conditions pour H et H,, l'équation (3) devient
[i(j(p) H i)ji(p,)]cosa siïiada H- shra'\'{p)dp
-- cos-avIj,{p,)n'p,=.- o,
ClIAl'ITIlE 11!, ■- - DIÎS LIGNES QUI DÙPliNLlîNT, KTO. 187
qui est ia dil'féi-eiilielle exacte de
sin'Ki^(p) — cos''ai}'i ^p) = corist,
4° Supposons que 9 ne dépende que de l'une des deux variables p ou pi, que I, (n° 25) ne dépende que de p,, et I ne dépende que de p, de telle sorte que l'on ail
l'on obtiendra alors, suivant que œ ne dépendra que de p ou de p,, d'après les équations (6) du n" 47, l'une des deux ex-
r dp, C dp
« — / -Trr—, ■+■ -Fr-\ = const., J /(pO J fi?)
pour représenter l'intégrale première de l'équation géodésique.
Il est évident que ces deux équations auraient encore lieu, si I et Ji (n" 25) étaient, la première une fonction de p seulement, et la seconde une fonction de pi, ou bien, si I, et J ne dépendaient, la première que de p,, et la seconde que de p. Il
suffit de remonter au\ équations (5') du n" 47, d'y faire -p nul,
et d'intégrer l'une ou l'autre de ces deux équations.
129. Problème III. — Ligne géodésique de la surface hélicoïdale.
Nous prendrons l'expression de l'arc ds, rapporlée aux coordonnées / et p. que nous avons trouvées au n" 87 (on .y supprimera, pour abréger, l'indice i de pti).
or, pour cette forme, l'on a l'intégrale première de la ligne géodésique égale à
|S8 LIVUË II. — APPLICATIONS DUS TIIÉOBIES PllÉC.ËDESTKS, ETC.
h étant une consiante ; mais, dans ce système de coordonnées,
[P + a^)di.^+{^^^+y\dl
donc l'équation différenlieile du premier ordre des lignes géodésiqucs est
, /i-{/'Jj"-h «M- f'fdl
du. =. — ^ — ■1^ = :
(«' + /=)Vï"' + a"' — ^'
de iù on lire, \m étant la constante de l'intégration,
qui est l'équation de la ligne géodésique entre les variables fi et (. Si l'on veut avoir cette équation entre les variables t et 9, il faut éliminer ^ entre cette équation et l'équation (i) du n''87 : ce qui donne
la ligne géodésique entn cette équation entre les tre cette équation et 1'
' J (<.■ + (■) J ia'+l')^t' + a-~k-
pour l'équation de la ligne géodésique.
Appm:ATiONS a quelques exemples : i" Héliçoïde àplim directeur. — Il faut faire
4j(ï) ^ consl-, ce qui donne
dl
. r dl
uer, suivant que k' ce dernier cas, l'oi
r adl
il y a trois cas à distinguer, suivant que k' est supérieur, inférieur ou égal à «'- Dans ce dernier cas, l'on a
