PnoBLiiME IV. — Ligne géodésique des surfaces déve
Prenons pour coordonnées les génératrices reciilignes et les lignes orthogonales. Soit
ds' = '^'{i)di.
l'arc de l'arête de rebroussemenl, ds élant l'angle de contingence de cetle ligne; si l'on conserve les notations employées au n" 105, l'équation de la ligne qui coupe orlhogonalement
igo uvBE ir. — APPLiCATioiys vus tliéobies précédentes, i les génératrices rectilignes esi
donc l'expression du dépiacenient ds sera
avec la relation
dp.
lp,~s')dt
Si l'on applique à ces expressions i'équalion (3"j
(/H __ sinadx Hrfp, "" cosa on trouve
dor. r. di; de là on conclut
avec cette condition que e est nul en même temps que a, ce qui exige que s soit compté à partir de la génératrice sur laquelle la ligne géodésique est perpendiculaire. Cela posé, l'équation (3") donne
dp, sin ce da. ds' -\- dt
' ■' p, — s' ~ cosa / '
on déduit
«^.ï'COSa -h d{tC0S,Oi):-"- o,
et, en intégrant,
(3) tcosa— t„-t- I cos<x.'\''{a)da~o,
/, étant la constante introduite par l'intégration, elle représente la longueur de la génératrice perpendiculaire à la ligne géodésique.
Soient x', y', s' les coordonnées du point que l'on considère sur l'arête de rebroussemcnt, x,x, z les coordonnées du point correspondant de la ligne géodésique située sur la même génératrice, l'on a
(41 -=''+'^ in
CnAPiTBU UT. — BES LtGIVF.S QUI PÉPENDUNT, iîTC. igi
dans lesquelles x', y', z' ei leurs dérivées sont connues par rapport à E, ou son égal a, par la nature même de i'arèie de rebroussemenl, et t se trouve connu en fonction de ia même variable par suite de l'équation (3); on a donc, en termes finis, les trois équations de la ligne géodésique de la surface développable.
Il y a une aulre manière de traiter la question. Cette manière consiste à chercher, comme nous l'avons fait n° 110, les équations d'une surface quelconque engendrée par une droite située dans un plan qui s'enroule sur la surface développable donnée- Cette droite engendre une autre surface développable dont l'arête de rebroussement est située sur la surface développable donnée, et celte arête de rebroussement n'est autre chose que la ligne géodésique de cette surface. Il n'y a donc qu'à écrire les équations de cette arête de rebroussement.
13I. Applications r Ligne géodésique de l'héliçoide développable. — Les équations de l'arête de rebroussement sont, a et X étant constants.
(ïCosS,
f — asmQ, z' -
= flôlang^;
de, là on dédui
ds'=---^de; cosA
or, l'on a
ds' a dt ~ cos'^'
donc
rfs =
idôeosï., £ = 9c.
JsX,
e étant compté à partir de la tangente de la courbe perpendiculaire à l'axe des x :
iocos'), -i-nsina cosacoy'A
Conséquemment, les équations do la ligne géodésique sont, après avoir posé m = cos>,
192 LIVBE U. — APPLICATIONS DES THÉORIES PUËCËPENTE9, ETC.
,r r^«cos9 — tmainS, r^asinO-h tmcosd, 2 =«S tangi + ïsinïi,
dans lesquelles il faut remplacer / par sa valeur en foncUon de0.
Ici la ligne géodésique est perpendiculaire sur la tangente a l'origine de l'arête de rebroussement, et /„ est la longueur comprise sur cetle tangente, entre le point de l'arête et le point d'intersection de la tangente avec la ligne géodésique.
2." Ligne géodésique de la surface développable dont l'arête de rebroussement est la spirale logarithmique conique. — Les équations de l'arête de rebroussement sont, m, n, a étant des constantes,
x' = tcos9, r' = ïsine, z' = mt, t^^ae"^:
on déduit
ds''=(i-i- n'
■-hm^]t'd8K
S) l'on pose, pour abréger,
l'on a
dx' —sine + ncosS dr'
